Найти отношение кинетической энергии точки к ее потенциальной энергии (20 января 2011)

Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии для момента времени t = T/12, где Т — период колебаний?

Методические указания СЗТУ, 2007 год. Задача 402.

Комментарии

У меня получилось T/п = tg2 (wot + φ).

А как дальше её решать, начальную фазу как найти?

Как найти угол — разницу между координатой (потенциальная энергия) и скоростью (кинетическая энергия)?

Насколько величины будут отличаться? На пи? Или на пи/2?

Рассматриваем движение от начала равновесия:

x = A sin (ωt).

Первая производная координаты по времени:

v = dx/dt = Aω cos (ωt).

Отношение энергий:

E1/E2 = E1 / (Emax − E1) = 1 / (Emax/E1 − 1),     (1)

где кинетическая энергия в момент времени t = T/12 равна:

E1 = mv2/2 = (m/2) (Aω cos (ωt))2,     (2)

а максимальная энергия:

Emax = mvmax2/2 = (m/2) (Aω)2.     (3)

Делайте замену (2) и (3) в (1).

E1/E2 = E1 / (Emax − E1) = 1 / (Emax/E1 − 1).

Как Вы такую формулу получили, напишите, пожалуйста, поподробнее, какими оперированиями она получается?

А почему Вы не учли начальную фазу колебания φ, она хоть и не задана, но вытекает из соображений, что потенциальная энергия (координата) и от неё производная есть скорость, получаем уравнение для кинетической энергии)))

Разность фаз координаты и скорости равна π/2, получилась после того, как я посчитал производную от координаты по времени t )))

Ek/Ep = [cos2 (2π/12)] / sin2 (2π/12) = ctg2 (π/6) = 3.
Да, любое! Энергия — это относительная величина!
Это Вы о чём?
Это я том, что энергия определена с точностью до константы.

В итоге получим соотношение вида (E1(v) + С) / (E − E1(v) − С),
где E — полная энергия, а E1 — функция от скорости, С — константа.

Но боюсь, что составители задачи об этом не думали :(

А можно рассуждения по задаче полностью? Всё решение)))
x = A sin (wt + f),
v = wA cos (wt + f),
Eк = mv2 + С1,
Eп = kx2 + С2,
k = mw2.

Вот и всё решение!
А константы любые выбирайте :)

А ответ какой получится, что куда нужно подставить?
Ответ Eкп.   (1)

Выбираете константы С1 и С2 и подставляете в (1).

Но это, мягко говоря, странно — в реальности никому не придёт в голову искать отношение двух бессмысленных величин. Смысл имеет только изменение энергии.

Просто Ek/Ep.

У меня есть сомнение, что должно получиться конкретное число)

Я же говорю — подставляете константы и получаете число.

Но толку от этого числа не особо много.

И чему равны C1 и C2?
Какие-то константы. Зависит от того, как выберете начало отсчёта энергии.
А как бы Вы выбрали?
С1 считал бы от mc2 :))
C2 — от нуля.

P. S. Похоже, что задача школьная, и там об этом иногда умалчивают, так что можно считать с1 = с2 = 0.

В. Грабцевич, не понимаю я Вас.

Зачем нам нужна максимальная энергия, когда не задано положение точки? Их тут может быть три. Чему равна начальная фаза? По какому закону идут колебания гармонические? Вы можете мне объяснить, тут много неясностей.

Смотрите мой комментарий от 22 января, 2011 г.

Два варианта возможны: тот, который рассмотрел я (колебания начинаем рассматривать от положения равновесия), второй − если колебания начинаем рассматривать при выведении тела из положения равновесия. Тогда для описания колебания пользуемся функцией косинус.

Проделайте тоже, только начальное уравнение будет x = A cos ωt.

Комментарий от 22 января, 2011 г.

Если начальную фазу (смещение) считать нулём, то как развернутся события?

Поправка:

Рассматриваем движение от начала положения устойчивого равновесия: x = A cos (?t).

От начала положения устойчивого равновесия — по синусу: x = A sin (?t),
из крайнего положения (вывели из положения равновесия, отклонив на угол α) — по косинусу: x = A cos (?t).

Не понимаю, что такое крайнее положение и начало равновесия. Покажете на рисунке?
Помогите, пожалуйста, правильно решить задачу. Не могли бы Вы и рисунок помочь?
Спасибо большое за информацию, она мне очень помогла.
Надоело разбираться?