Какое ускорение будет иметь шарнир В? (23 марта 2010)

рисунок к задачеИз четырех одинаковых тонких стержней длиной L каждый сделали ромб, скрепив их концы шарнирно (см. рисунок). Шарнир А закреплен, противоположный шарнир Б двигают вдоль диагонали ромба с постоянным ускорением a. Вначале упомянутые противоположные вершины находятся близко друг к другу, а скорость точки Б равна нулю. Какое ускорение будет иметь шарнир В в тот момент, когда стержни АВ и ВБ составляет угол ? Считайте движение всех точек плоским.

Задача взята с городской олимпиады по физике г. Астана, 10 класс, теоретический тур.

задача решается благодаря "движению со связями" (впервые слышу)

fiz.1september.ru/articlef.php?ID=20071103 (ссылка нерабочая — примечание afportal от 1.02.2016)

Задачи по движению со связями на нашем сайте есть, но большинство только с ответами и без решений.

Предлагаю познакомиться с решением задачи по движению со связями.

Кротов С. С. "Задачи московских физических олимпиад", задача 1.25, стр. 10, решение на стр. 75.
понимаете, сейчас на городских олимпиадах составители просто берут задания со старых сборников, то есть не хотят ничего делать... честно, с такой задачей встретился впервые.

Dzaurov, случаем такая задачка не поподалась на олимпиаде? помню вроде, что, кажется, эту задачу поставили всем с 9 по 11 классы. Если бы чуть раньше с ней я ознакомился=)

В. Грабцевич, задачки очень различаются, на координации олимпиады решение было совсем иным.... вот жаль, что я опоздал. Под конец подошел, но то, что ответ был другой, - это однозначно.

мне попалась! ну я не читал про "движения со связями"!

Какое место занял в итоге?

Олимпиаднику: Вам нужен намек, а дальше дело Ваше, если Вы олимпиадник. Выкладывайте свои соображения, будем помогать. Если же Вы вышли погулять, то Вам и готовое решение олимпиадной задачи вряд ли поможет, уж извините.
На олимпиаде надо рассуждать не как в классе! Вы решите все эти задачи через 5 лет точно! рассуждать по-другому начнете! Поэтому В. Грабцевич решает хорошо, он рассуждает, как гений ))))))))

И еще, В. Грабцевич, я скидывал задачу про 3 конденсатора, посмотрите, пожалуйста.

Elubaev, я столкнулся с такой же задачей на олимпиаде, Вы мой тезка, приятно, если что, чуть позже могу опубликовать решение или азы. Извените, а как тут вставлять знаки, что-то наподобие "под корнем", "дельта" и т.д.?
просто пишите перед вычислением корень или дельта.

От администрации: для знаков корня или греческих букв используется обычный HTML. Подсказки видны слева в низу страницы при составлении комментария или его редактировании.

У точки В две составляющих ускорения: вертикальная и горизонтальная. Горизонтальная равна половине ускорения точки Б, то есть ax = a/2. Соответственно, горизонтальное перемещение точки В:

hx = at2 / 4.

Пусть b — сторона ромба. Тогда вертикальное смещение В:

hy = √(b2 − a2t2/16).

Кроме того, горизонтальное смещение равно:

hx = b sin α,

поэтому b sin α = at2 / 4.

Вертикальная скорость точки В равна

dhy / dt = −a2t3 / [2√(16b2 − a2t4)].

Вертикальное ускорение точки В равно:

d2hy / dt2 = ay = −a2t2 (48b2 − a2t4) / [2 (16b2 − a2t4)3/2].

C учетом b sin α = at2 / 4, вертикальное ускорение точки В становится:

ay = −2a (tg α) (1 + 2/cos2 α).

У Кротова такой ответ?

У меня немного другой ответ: аy = a (tg α) ([1/2] + 1 / cos2 α).

Задачу можно решить проще — без дифференцирования, учтя при этом, что т. В движется по окружности радиусом L. И можно воспользоваться формулой для центростремительного ускорения.

Лена, здравствуйте. Таки ответы отличаются ровно в четыре раза, и Ваш ответ правильный. Вертикальное ускорение у меня правильное — перепроверил. Я его просто переписываю,

d2hy / dt2 = −(a2t2/2) (48b2 − a2t4) / (16b2 − a2t4)3/2.

Далее подставляем:

at2 = 4b sin α.

Получаем:

d2hy / dt2 = −(a/2) 4b (sin α) (48b2 − 16b2 sin2 α) / (16b2 − 16b2 sin2 α)3/2,

или d2hy/dt2 = −(a/2) 4 (sin α) (48 − 16 sin2 α) / (16 − 16 sin2 α)3/2.

Далее:

d2hy / dt2 = −(a/2) 4 (sin α) 16 (3 − sin2 α) / (64 cos3 α).

Вот здесь у меня был заскок, нужно было в знаменателе возвести шестнадцать в степень три вторых и получить шестьдесят четыре, а я ошибся и написал шестнадцать. Продолжаем,

d2hy / dt2 = −(a/2) (tg α) (2 + cos2 α) / cos2 α.

d2hy / dt2 = −(a/2) (tg α) (1 + 2/cos2 α).

Это совпадает с Вашим ответом. Что касается движения по окружности, не знаю, дело вкуса. Поскольку вращается звено неравномерно, там не только нормальное ускорение будет, но еще и касательное. И оба придется проецировать на вертикальную ось. Наверное, Ваш способ интереснее, зато мой позволяет не знать никаких правил, а просто тупо дифференцировать и все. В конце концов, в него тоже заложено движение по окружности в виде пифагоровой связи между горизонтальной и вертикальной координатами шарнира, а все остальное должно вылезти автоматически. В любом случае, Лена, спасибо. Когда я увидел, что у Вас другой ответ, у меня не было никаких сомнений, что ошибка у меня. У меня сразу было ощущение, что какое-то слишком уж нехилое получилось ускорение — я подставил угол 45 градусов, и результат был очень подозрительным.

Diane, рада, что помогла.