Через сколько Земля упадет на Солнце, если Землю остановить? (13 октября 2015)

Через какое время Земля упадет на Солнце, если Землю внезапно остановить?

Источник: задачник О. Я. Савченко, 1989 год, Новосибирск.

Пусть Земля, летящая к Солнцу, — это воображаемая комета, которая двигается по сильно вытянутому, сжатому эллипсу, крайние точки которого расположены: одна — на земной орбите, другая — в центре Солнца. Большая полуось орбиты такой кометы, очевидно, вдвое меньше большой полуоси орбиты Земли.

Далее воспользуйтесь третьим законом Кеплера: квадраты времен обращения планет относятся между собой, как кубы больших полуосей их орбит.

Эта задача также решается при помощи закона сохранения энергии. В начальной точке есть только отрицательная потенциальная энергия, а в любой промежуточной — еще и кинетическая.

(−GМ/r) + v2/2 = −GM / ro,

где М — масса Солнца, ro — начальное расстояние (радиус орбиты Земли), r — текущее расстояние, G — гравитационная постоянная, v (r) — скорость Земли.

Можно получить скорость, но не как функцию времени, а как функцию расстояния до Солнца. Причем скорость отрицательна, потому что мы ее здесь рассматриваем как производную расстояния по времени, а это расстояние с течением времени сокращается. Поэтому нужно взять отрицательный квадратный корень. Выражение имеет вид dr / dt = f (r). Его нужно записать чуть иначе, в виде dr / f(r) = dt. Потом проинтегрировать левую часть по r от ro и до нуля. А правая часть после интегрирования — это просто время t, которое мы ищем. Оно равно тому что получится в левой части. Интегрируем и получаем время. Интеграл несложный, есть в таблицах и онлайн тоже. Время удобно выразить через "нормальный" период вращения Земли T, получаем t = T / (4√2).

Это хорошо согласуется также и с Третьим законом Кеплера, которым здесь предлагают воспользоваться. Действительно, малая полуось эллипса падает до нуля, а большая уменьшается в два раза. Потому что большая ось целиком равна теперь радиусу земной орбиты, а полуось — половине этого радиуса. Ну а по закону Кеплера, если радиус падает в два раза, то период — в 2√2. Для падения нужна только половина периода, поэтому "время падения" на Солнце в 4√2 раз меньше периода вращения Земли. Приблизительно 65 дней.