Найдите конечную температуру идеального газа (26 июня 2009)

В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится идеальный одноатомный идеальный газ при температуре T. В начале поршень соединен недеформированной пружиной. После того как поршень освободили и система пришла в равновесие, объем газа увеличился в N раз больше начального. Найдите конечную температуру газа. Над поршнем газа нет.

Задача № 1009 из сборника "Учебно-научный центр довузовской подготовки и кафедра физики".

P.S. Какую роль здесь играла пружина? Как найти ее удлинение?

Комментарии

Пружина создала силу упругости, которая удерживает поршень.

kx = P2S.

Газ совершил работу, которая пошла на увеличение энергии пружины.

(3/2) vRT1 − (3/2) vRT2 = kx2/2.

xS = (N − 1)V.

Вы считаете, что масса поршня равна 0? А как же тогда в начале пружина была недеформирована ("Над поршнем газа нет")?
Так написано же в условии, что его держали, а потом отпустили. Вот держали его так, чтобы пружина была недеформирована. Мне кажется, тут нужно считать поршень лёгким. Однако есть задачи, где масса поршня в итоге сокращается. Как упражнение — попробуйте ввести массу и посмотреть, сократится ли она.
Никак не могу увидеть, где написано, что его держали (все, увидел, его, оказывается, "освободили"). Да и вообще надо тут использовать уравнение адиабаты и все. А если решать, как Вы, то масса, конечно, не сократится, т.к. работа будет включать себя еще изменение потенциальной энергии поршня.
Если процесс квазиравновесный, можно пользоваться адиабатой. Однако тут в условии есть фраза "пришел в равновесие", которую нужно понимать, что до этого момента равновесия не было. Вот только было ли квазиравновесие или нет — неясно.

Если N >> 1, то адиабату использовать нельзя, т.к. был бы рывок поршня и это уже не квазиравновесие.

Если N ≅ 1, то с небольшой погрешностью, вероятно, можно. Закон сохранения энергии — более универсальная штука, чем адиабата, т.к. для адиабаты требуется доп. условие о квазиравновесном процессе.

Но в условиях ничего не сказано ни о массе поршня, ни о коэффициенте жесткости пружины, ни о площади поршня. Так что других способов решения, как использование уравнения адиабаты, мне не видится.
Если считать поршень легким, то жесткость и площадь сократятся, и задача решится.
Я забыл слово "невесомый"! Извините, пожалуйста.
Ну, где же они сократятся-то? Извольте продемонстрировать.
Да ну что Вы в самом деле!? Преобразования уж сами должны уметь делать. Три уравнения я написал, к ним добавьте два уравнения состояния и поиграйтесь с ними. Самостоятельно ;)
Ну не вижу я, как из 5 уравнений (3 ваши + 2 состояния) можно найти разность температур (7 неизвестных: k, x, S, P2, V, P1, T1, T2). Так что прошу показать эти самые преобразования.
Я бы даже сказал, что 8 неизвестных :)
А у меня все получилось. Сначала один параметр не сокращался. Потом все понял.

T' — конечная температура, T — начальная. p — начальное давление, р' — конечное. V — объем газа.

νR = р'NV / T'.

Умножим равенство kx = p'S на x, получим kxx = p'Sx.

Еще у нас есть равенство xS = (N − 1)V, получаем kxx = p'(N − 1)V.

Приравняем изменение внутренней энергии газа и потенциальной энергию пружины. Получаем уравнение, откуда находим:

T' = 3NT / (4N − 1).

Хм, действительно. Извиняюсь, сразу не заметил.
Господа, нужно быть внимательнее. При решении этой задачи:
  1. "Никак не могу увидеть, где написано, что его держали (все, увидел)"
  2. «Я забыл слово "невесомый"»
  3. "Хм, действительно. Извиняюсь, сразу не заметил."
Если бы изначально было сказано, что поршень невесомый, то 1-го и 3-го пункта, думаю, бы не было, т.к. 1-й пункт возник как раз из-за спора о массе поршня.

Когда я считал, что масса поршня не нулевая, то задача не решалась. А после "небольшого" уточнения demagog'а о массе поршня я уже не считал, мне так же показалось, что задача решения не имеет.

das, в условии задачи сказано, что поршень освободили, а это значит, что вначале его удерживали. Процесс адиабатический. Поршень невесомый.

При этих условиях demagog решил задачу. Никаких замечаний нет. Я только покажу, как происходит сокращение величин. Обозначения те же самые, что у demagog'a, введу только V' = NV. Если x — длина сокращения пружины, то изменение объема газа Sx = V(N − 1). Всё это есть у demagog'a.

Когда газ расширился и пружина сократилась, силы уравновесились, и kx = p'S.

Из этого уравнения я исключаю k, так как эта величина в уравнение газового состояния не войдёт; k = p'S/x.

Работа газа равна энергии сжатой пружины:

A = kx2/2 = (p'S/x) × x2/2 = p'Sx/2 = p'V (N − 1) / 2.

Использую уравнение газового состояния для исключения p';

p'V'/T' = pV/T;

V' = NV;

p' = pT' / (NT).

Это значение p' подставляю в A;

A = pT'V (N − 1) / (2NT).

Теперь найду изменение внутренней энергии газа:

ΔU = 3/2 × (p'v' − pv) = 3/2 × ((pT' / NT) NV − pV) = 3pV(T' − T) / (2T) = −3pV (T − T') / (2T).

Знак "−" вынесен за скобки, так как T' меньше T.

Для адиабатического процесса A + ΔU = 0.

pVT' (N − 1) / (2NT) − 3pV (T − T') / (2T) = 0;

сокращаю на pV / (2T);

T' (N − 1) / N − 3(T − T') = 0;

T' (N − 1) − 3(T − T')N = 0;

T' (4N − 1) = 3TN;

T' = 3TN / (4N − 1).

Ответ: T' = 3TN / (4N − 1).

При N = 2   T' = (6/7) T.

Любопытно, что T' не может быть меньше 3/4 от T.

Для двухатомного газа T' не может быть меньше 5/6 от T.

Газ, сжимая пружину, как бы выдыхается.

Еще одно замечание. N в задаче дано, но именно N зависит от жёсткости пружины k.

Спасибо demagog'у за решение задачи, возможно, Вам не понравилось такое занудное изложение хода решения.

Спасибо еще за полное решение.

Кстати, если использовать уравнение адиабаты, то, например, для N = 2 получим T' = 0,76 T (6/7 = 0,86). Так что ошибка порядка 10 %, не так уж плохо.

Чем больше N, тем больше отличия. При N = 5 отличия в 2,3 раза.

А что думает научный руководитель портала по поводу этой задачки? Владимир Иванович, приняли бы Вы решение как правильное, если решать задачу через адиабату?

inkerman, в начале дискуссии Вы всех убеждали, что для неравновесных процессов уравнение Пуассона (уравнение адиабаты) неприменимо. А теперь задаёте вопросы.

По условию задачи, цилиндр теплоизолирован. Процесс адиабатический, но не равновесный. Уравнение Пуассона применять нельзя. Уравнение же сохранения энергии применимо всегда.

По условию задачи, цилиндр теплоизолирован, следовательно, процесс адиабатный — по определению. Идея правильного решения заложена в первом комментарии. Согласен с последним комментарием по поводу применимости закона сохранения энергии.

Напрямую уравнение Пуассона нельзя применить для данной задачи. А если учесть определенные поправки, а, inkerman?

Да, Вы правы, Владимир Иванович.

Я забыл, что процесс называется адиабатным и не являясь равновесным. В общем-то, я свое мнение не изменил по существу: ЗСЭ можно, Пуассона нельзя. Зато напомнил себе определение адиабаты :)

Inkerman, некоторые авторы, в частности Л.Д.Ландау, называли адиабатическими только квазистационарные процессы. Из Википендии, поиск — слово "адиабата".
Ну, как я понимаю, задача эта школьная. А уравнение адиабаты для идеального газа в школе не проходят. Поэтому стоит лишь взглянуть на источник задачи ("Учебно-научный центр довузовской подготовки и кафедра физики") и понять, что здесь требуется решение через 1-ое начало термодинамики.
Inkerman, суть не названии процесса, а в невозможности применения уравнения Пуассона для неравновесных процессов.

Уравнение Пуассона (адиабаты):

pVγ = const;

или TVγ − 1 = const,

где γ = (i + 2) / 2;   i — степень свободы движения молекулы газа; для одноатомного газа i = 3 и γ = 5/3.

Допустим, мы всё же применим уравнение T/T' = (V'/V)γ − 1 к решению нашей задачи при N = 100;

T' = T / (V'/V)2/3 = T / N2/3 = T / 1002/3 = T / 21,54 = 0,046 T.

Вот бы хорошо так сжижать газы. Но это противоречит второму закону термодинамики. Эта задача — наглядный пример.

Inkerman, а если взять другое значение γ ? Какое, например, при N = 2?

Ошибка, надо: γ = (i + 2) / i.
γ = (i + 2) / i.
spaits, я вот тока не пойму, Вы меня убеждаете в том, что мое мнение верное? Или Вы не тому адресуете свои сообщения или я чего-то не понимаю.

Ваши посты говорят, что Пуассона нельзя, ЗСЭ можно. Но я нигде не писал противного, даже наоборот, первое сообщение — решение через ЗСЭ. А потом еще и писал, что решать через адиабату нельзя (подразумевая Пуассона). Вы точно ничего не напутали, а?

Я точно ничего не напутала. Вы еще в начале дискуссии сказали, что уравнение Пуассона применять нельзя. Мне только хотелось бы, чтобы Вы проанализировали, почему.
Уважаемый inkerman, к Вам обращаюсь потому, что именно Вы сказали, что уравнение адиабаты применять нельзя. А уравнение написала для тех, кто будет читать, но о таком уравнении ничего не слыхал. Простите.

Страницы

Надоело разбираться?