Под каким углом должен быть направлен желоб? (11 апреля 2009)

Под каким углом к вертикали должен быть направлен гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему за наименьшее время? (Желоб по рисунку опирается на наклонную плоскость с углом при основании φ). Не понимаю, как приходят к ответу φ/2 ?

Задача № 1.3.3 из задачника под ред. Савченко О. Я., 1988 год.

Комментарии

Решение.

Примечание: вместо l используется L для большей наглядности.

рисунок к задаче

На первом рисунке показаны возможные направления желоба из точки A. Видно, что, меняя угол, мы будем менять длину желоба, но также будет изменяться и ускорение, с которым шарик будет двигаться по желобу. Ведь чем сильнее наклон, тем больше ускорение шарика.

Из геометрических соображений:

h = x tg α + x tg φ,

L = x/cos α.

рисунок к задаче

Шарик будет скатываться с ускорением a = g sin α.

Время находим из условия, что шарик прошел путь L:

L = at2/2.

x/cos α = (gt2 sin α)/2,

t2 = 2h/(g sin α cos α (tg α + tg φ)).

Время будет минимально, если sin α cos α (tg α + tg φ) будет максимально.

sin α cos α (tg α + tg φ) = sin (α + φ) sin α / cos φ = (cos φ − cos (2α + φ)) / (2 cos φ).

Это выражение будет максимально, когда cos (2α + φ) будет минимально, а значит равно −1, тогда

2α + φ = π, откуда α = π/2 − φ/2.

Угол желоба к вертикали равен:

β = π/2 − α = π/2 − (π/2 − φ/2) = φ/2.

Ответ: φ/2.

спасибо. я находил минимум знаменателя через производную и лопухнулся. Вижу, что тригонометрию надо учить))
Надоело разбираться?