Cредняя скорость молекул после открытия перемычки (24 января 2009)

Имеются два одинаковых сосуда с одноатомным газом, соединенные перемычкой. Известно, что, пока перемычка была закрыта, средняя скорость молекул в первом сосуде равнялась 1000 м/с, во втором — 2000 м/с. Если открыть перемычку, молекулы начнут переходить из одного сосуда в другой. Какова будет средняя скорость молекул после установления теплового равновесия? Считать, что сосуды теплоизолированы от окружающего пространства.

Источник: естественно-научные конкурсы.

После открытия перемычки в результате теплообмена установится температура:

T = (T1 + T2)/2.

Воспользуйтесь связью скорости молекул с температурой:

Ek = (3/2)kT и T = mv2/(3k),

Выразите искомую скорость.

А откуда Вы взяли, что именно такая установится температура?
Составьте уравнение теплового баланса и опровергните мое утверждение:

T = (T1 + T2)/2.

По закону сохранения внутренней энергии:

U = U1 + U2.

Отсюда получим:

P = (P1 + P2)/2, значит:

T = (N1T1 + N2T2)/(2N).

Зная Т, можно найти скорость, но так как я не знаю, какими должны быть N1 и N2, задачу решить не могу.

Насколько я понял условие, в обоих сосудах одинаковый газ.

Допустим, в первом сосуде масса газа m1, во втором — m2.

Тогда, по-моему, установится такая средняя скорость: <v> = <v1>√(1 + 3m2/[m1 + m2]).

Несколько случаев:

m2 = 0;     <v>= <v1> = 1000 (м/сек).

m1 = 0;     <v> = <v1> • 2 = 2000 (м/сек).

m1 = m2;     <v> = <v1>√(5/2) = 1581 (м/сек).

Откуда мы взяли 1581 м/сек ?
Посчитали по последней формуле.
как мы получаем (5/2) ?
T = (T1 + T2) / 2.

Mv2 / (3R) = [Mv12 / (3R) + Mv22 / (3R)] / 2,

v2 = (v12 + v22) / 2.

v = √ [(v12 + v22) / 2].

v = √ [(10002 + 20002) / 2] = 1581 м/с.