Определить угол наклона плоскости (4 ноября 2008)

Тело движется по наклонной плоскости вверх с ускорением a1 = 5 м/с2 (направленным вниз) и вниз с ускорением a2= 3 м/с2 (направленным вниз). Коэффициент трения о плоскость μ = 0,25. Определить угол наклона плоскости.

Задачу предложили на воскресной школе при Саратовском Государственном университете.

Решение:

для a1 получаем: a1 = g(sin α + μ cos α),

для a2 получаем: a2 = g(sin α − μ cos α).

Складывая ускорения, получаем: a1 + a2 = 2g sin α. Отсюда sin α = 0,4.

Вычитая ускорения, получаем: a1 − a2= 2g μ cos α. Отсюда cos α = 0,4.

sin α/cos α = tg α = μ(a1 + a2)/(a1 − a2) = 1.

Вопрос: почему угол получается все время разный?

Комментарии

Потому что условие некорректное.

Проблема в том, что данных в условии a1, a2 и μ не может быть. Либо g не равно 9,8 м/с2. В любом случае советую брать ответ tg α = μ(a1 + a2)/(a1 − a2) = 1, т.к. он содержит только данные из условия, не используя никакие другие.

Величины a1, a2, взаимосвязаны и зависят от угла и трения. Нельзя от фонаря выбрать значения и потом объяснять парадокс несоответствия.

Например, равенство 0,5 = sin α + μ cos α возможно при угле где-то в 15°, а равенсто 0,3 = sin α − μ cos α возможно при угле где-то в 30°.

Вывод:

1) при движении вверх угол наклонной плоскости 15°, а при движении вниз угол наклонной плоскости изменился до 30°, тогда ускорение при движении вверх будет равно 5 м/с2, а при движении вниз — 3 м/с2.

2) Если наклонная плоскость с постоянным углом, то цифры подобраны неудачно для покоящейся плоскости.

А по-моему, существует возможность, что данные нормальные. Но лишь в случае, когда g не равно 9,8 м/с2, а равно 5,66 м/с2. Например, система в лифте. Тогда всё будет сходиться, и угол наклона постоянный и т.д. Но нужно заметить, что если это и задумывалось авторами, то это откровенная попытка кинуть большинство школьников.

Во многих задачах по умолчанию полагаются определенные вещи. Если нить, то невесомая, нерастяжимая, если блок, то невесомый и т. д. В задачах, подобных этой, стандартно полагают, что всё это на земле и g = 9,8 м/с2, если не сказано о том, что не на Земле. Получается, что задача — игра на стереотипах :)

Чтобы закрыть тему, скажу, что такие задачи носят явно исследовательский характер. Решение ее приводит к различным вариантам и предположениям, в этом суть исследования. Что касается вступительного испытания − тестирования, такие задачи исключены. Хотя, если увидите что-то подобное на тестировании, то шлите к нам на портал − подискутируем. Читая условие задачи, догадайся, что плоскость в лифте?
Я спросил преподавателя об источнике. Это сборник задач В.В.Грушина, предназначенный для учащихся 11-го класса физико-математического лицея при МИФИ. Задача 4.11.
В задаче 4.11 речь идет о шайбе, следовательно, кроме силы тяжести и силы взаимодействия с плоскостью (реакция опоры и сила трения), на тело ничего не будет действовать.

Тогда:

для a1 получаем: a1 = g(sin α + μ cos α),

для a2 получаем: a2 = g(sin α − μ cos α).

После подстановки угла 45° (этот угол приводится как правильный), имеем:

a1 = 8,84 м/с2, а a2 = 5,3 м/с2.

Это явно не согласуется с условием задачи.

Данных в задаче столько, что ситуацию движения вниз можно не рассматривать. Тогда какому движению отдать преимущество? И почему? Или автор толкает нас на свое, задуманное им решение? Пока остаюсь при своем мнении.

Вот хитрецы! А ведь действительно предполагали, что не в обычных условиях. Что g не равно 9,8. Поэтому и дали "лишние" данные, чтобы это понять и вычислить верно угол.
И как же, читая условие задачи:

Оригинал. Шайба, пущенная вдоль наклонной плоскости, скользит с ускорением a1 = 5 м/с2, а затем движется вниз с ускорением a2= 3 м/с2. Коэффициент трения о плоскость μ = 0,25. Чему равен угол наклона плоскости к горизонту?

понять, что ускорение отличное от нормального?

При движении в лифте изменится и сила взаимодействия с поверхностью, не так ли?

Так именно из-за нестыковки и можно понять. Я в самом первом сообщении именно так интерпретировал.

Изменится по сравнению с чем? C состоянием, когда лифт стоит? Если да, то, конечно, изменится, ведь изменится ускорение свободного падения в системе отсчёта, связанной с лифтом.

Если дать подсказку о движении самой плоскости, то задача будет понятна большинству. Если не упоминать об этом, то большинство ее не поймет. Игра цифр.
Надоело разбираться?