Во сколько раз изменится напряженность, если кольца совместить? (3 января 2016)

Два одинаковых равномерно заряженных тонких кольца радиусом R расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом в точке О, которая находится на расстоянии 2R от центров обоих колец. Определите, во сколько раз изменится величина напряженности электрического поля в точке О, если кольца полностью совместить.

Задания по физике. Чернышевский.

Напряженность кольца Е, второго — тоже Е. Когда кольца совмещены, то напряженность .

Когда кольца перпендикулярны, то одно создает напряжённость E (вверх), а второе такое же кольцо создает такую же напряжённость E (только влево). Вместе — опять два вектора складывать надо. Т.е. решить задачку на теорему Пифагора — катет, катет и гипотенуза. В результате напряжённость пойдёт по диагонали.

Понятно. То есть задачу можно легко решить, даже и не зная распределение электрического поля. А если изменить задачу? Допустим, теперь кольцо только одно, в горизонтальной плоскости, его центр в начале координат. Насколько сложно найти распределение поля?

И еще вопрос. А насколько правомерен принцип суперпозиции полей в этой задаче? Не будут ли кольца влиять друг на друга, приводя, например, к неравномерному распределению зарядов по окружностям колец, и тем самым меняя поле?

Уточните, что Вы имеете ввиду под "распределением электрического поля"? Может, Вы говорите о распределении зарядов?

Для решения задачи нет необходимости знать конкретное значение напряженности поля, создаваемого заряженным кольцом.

1) Если Вы знакомы с интегрированием, то это не сложно.

Общий прием решения задач по определению электрического поля непрерывного распределения зарядов состоит в разбиении заряженного тела на элементарные объемы, размер которых много меньше расстояния до точки наблюдения. Электрическое поле зарядов, попавших в элементарные объемы, может быть найдено по закону Кулона. Полное поле находится по принципу суперпозиции как векторная сумма элементарных полей.

2) Принцип суперпозиции в задаче очень важен. Никакие параметры колец не влияют на поля, ими создаваемые.

Лена, здравствуйте. Спасибо, что ответили.

1. Берем фиксированную точку в пространстве и считаем в ней скалярный потенциал, складывая вклад в него элементов по контуру кольца. Там противный интеграл получается, с тригонометрической функцией под квадратным корнем в знаменателе. Только на оси кольца потенциал найти легко, получается

kq / √(z2 + R2),

где z — высота над плоскостью кольца, R — радиус кольца.

2. А теперь предположим, что близко к кольцу поднесли точечный заряд, и значительный. Годится ли поле, которое мы рассчитали, для определения действующей на заряд силы? Не очень. Распределение заряда по контуру кольца перестанет быть равномерным, а ведь мы именно это предполагали, когда считали потенциал. Пока заряды точечные, суперпозиция работает. Но что если плотность зарядов может меняться при появлении других зарядов? Сама по себе суперпозиция все еще правомерна, но это будет суперпозиция уже совсем других полей.

Вычислим поле одного кольца. Кольцо имеет общий заряд q (для определенности — положительный), располагается в горизонтальной плоскости xy, и его центр в начале координат. Радиус кольца R тоже задан. Проще искать скалярный потенциал, чем поле, а поле потом. Задача, конечно же, радиально симметричная (от азимута точки, где измеряем потенциал, ничего не зависит), а z = 0 — это плоскость симметрии. Введем Декартову систему координат и цилиндрическую. У них общая вертикальная ось z. Поскольку от азимута ничего не зависит, выберем нулевой азимут. Азимут отсчитывается от оси х, то есть наблюдатель имеет координаты: x = r (где r может быть больше или меньше радиуса кольца R), y = 0, и высоту z над плоскостью кольца xy. Рассматриваем элементарный участок кольца с азимутом φ и соответственно координатами (R cos φ,   R sin φ, 0). Расстояние от этого участка до наблюдателя:

s = √ [(R cos φ − r)2 + R2sin2φ + z2].

Элементарный заряд [q / (2π)] dφ.

Этот участок дает приращение потенциала dV = [kq / (2π)] dφ / s,

где k — постоянная в законе Кулона. Чтобы получить потенциал, интегрируем по контуру кольца:

V = [kq / (2 π)] o∫ [dφ / √[(R cos φ − r)2 + R2sin2φ + z2].

Выражение в знаменателе под корнем можно несколько упростить,

V = [kq / (2π)] o∫ [dφ / √(R2 + r2 + z2 − 2Rr cos φ)].

Займемся выражением под квадратным корнем в знаменателе, обозначим его литерой M.

Добавим и отнимем 2Rr, получаем:

M = (R + r)2 + z2 − 2Rr (1 + cos φ),

или, что то же самое,

M = (R + r)2 + z2 − 4Rr cos2(φ/2).

Введем еще одно обозначение, A2 = (R + r)2 + z2. Параметр А вынесем из-под знака корня, получаем:

V = kq / (2 π) o∫ [dφ / {A √[1 − (4Rr / A2) cos2(φ/2)]}.

Здесь удобно поменять переменную интегрирования, α = (φ − π)/2,

тогда dφ = 2dα,

новые пределы: нижний минус π/2, а верхний плюс π/2.

V = [2kq / (2π)] −π/2π/2∫ (dα / {A √[1 − (4Rr / A2) sin2 α]}.

В силу симметрии (четности) там два одинаковых интеграла (один от минус π/2 до нуля, а второй от нуля до плюс π/2), поэтому:

V = [4kq / (2π)] oπ/2∫ (dα / {A √[1 − (4Rr / A2) sin2 α]}.

Введем еще одно обозначение, m2 = 4Rr /A2,

V = [4kq / (2πA)] oπ/2∫ (dα / √[1 − m2 sin2 α]).

А это есть полный эллиптический интеграл первого рода, его обозначают:

F (m) = oπ/2∫ (dα / √[1 − m2 sin2 α]).

Потенциал в точке с цилиндрическими координатами (r, z) становится равным:

V = 4kq F(m) / (2πA),

где A = √[(R + r)2 + z2],

также m = √(4Rr) / A.

Продолжение следует: по найденному скалярному потенциалу найдем радиальную и вертикальную составляющие электрического поля. Нам понадобятся радиальная и вертикальная производные потенциала, составляющие поля равны этим производным, но с противоположными знаками:

Er = −dV / dr,

Ez = −dV / dz.

dV/dr = 4kq / (2π) { F'(m) (dm / dr) / √ [(R + r)2 + z2] − F(m) (R + r) / [(R + r)2 + z2]3/2},

dV/dz = 4kq / (2π) { F'(m) (dm / dz)/√ [(R + r)2 + z2] − F(m) z / [(R + r)2 + z2]3/2},

при этом,

dm/dr = [1 / (2m)] {4R [(R + r)2+z2] − 8Rr (R + r)} / [(R + r)2 + z2]2

dm/dz = [1 / (2m)] (−8Rrz) / [(R + r)2 + z2]2.

Ну и производная этого самого эллиптического интеграла,

F' (k) = E(k) / [k(1 − k2)] − F(k) / k,

где Е — полный эллиптический интеграл второго рода,

E (k) = oπ/2√[1 − k2 sin2α] dα.

А теперь вернемся к задаче с двумя кольцами. Если они совмещены, то будет просто удвоенная плотность заряда (на единицу длины кольца). Теперь представим себе, что кольца разнесены, и, как предлагалось в задаче, с которой начиналось это обсуждение, оси колец пересекаются под прямым углом, а центры колец удалены на расстояние 2R от точки пересечения осей, и попытаемся решить ту же задачу. Не обязательно аналитически — с интегралами заморачиваться не обязательно. Аналитического решения, скорее всего, вообще нет.

Выберем какую-нибудь удобную систему координат, и в первом приближении сложим электрический потенциал от каждого из колец. Но если кольца из проводящего материала (а это важно), то это только в первом приближении. Потому что под действием несимметричного (теперь) поля заряды в кольцах перераспределятся. Равномерной линейной плотности заряда q / (2π) уже не будет. Плотность (как функция угловой координаты каждого из колец, то есть "местного азимута") должна стать такой, чтобы наведенное таким неравномерным распределением зарядов дополнительное поле уравновесило внешнее электрическое поле другого кольца. С тем, чтобы суммарное поле внутри проводника было равно нулю, и заряды в нем не двигались. С тем, чтобы градиент потенциала возле линии (проволоки) каждого из колец был направлен нормально к этой линии. А этого не будет, если просто сложить потенциалы из задачи об одном кольце и учитывать одну только геометрию.

Вопрос к магистрам клуба. Как решать задачу о перераспределении зарядов вдоль контуров колец? Можно ли построить какую-нибудь, например, численную итерационную процедуру, которая — начавшись с равномерной плотности — будет эту плотность каждый раз уточнять, пока на поверхности (на линии) каждого из колец не останется только нормальная составляющая поля, а касательная исчезнет?

Diane, Вы задаете сложные вопросы из курса вузовской физики, а здесь все-таки сайт для школьников. Кроме Елены, и помогать-то некому.
Андрей, здравствуйте. Критика частично принимается. Хотя думаю, что найдутся учителя или инженеры на этом сайте, которые знают и любят физику далеко за рамками школьного и даже университетского курса, — у меня был такой учитель. И это обсуждение могло бы стать интересным.

Я сформулирую свой вопрос иначе. Имеются две бесконечные проводящие положительно заряженные плоскости, с изначально одинаковой и постоянной плотностью зарядов. Они пересекаются под некоторым углом, пусть будет под прямым углом, так проще. Найти установившуюся плотность зарядов как функцию расстояния до линии пересечения. А до этого надо разобраться, корректна ли такая постановка задачи вообще. Не уйдут ли все избыточные заряды на бесконечное (от линии пересечения плоскостей) расстояние?