Какие одинаковые заряды следует сообщить трем шарикам? (5 ноября 2015)

Три одинаковых маленьких шарика массами по 1 г подвешены на нитях в одной точке. Определите, какие одинаковые заряды следует сообщить шарикам, чтобы каждая нить составила с вертикалью угол 45°. Длина каждой нити l = 10 cм.

Источник: Чакак. Физика. Пособие для поступающих в ВУЗ.

Поскольку шарики одинаковые, разойдутся они симметрично. При взгляде сверху образуют равносторонний треугольник. Размеры треугольника задаются длиной нитей и углом отклонения: расстояние от центра до вершины равно проекции длины нити на горизонтальную плоскость.

Далее рассматриваем условие равновесия для одного из шариков: векторная сумма сил отталкивания от двух других шариков, силы тяжести и силы натяжения нити равна нулю. От векторов переходим к их проекциям на оси.

Заряд выражается из силы отталкивания: для каждой пары шариков она равна kq2 / a2.

Здравствуйте. Если все это проделать, получается:

q2 = (√3) mgl2 (sin [2α]) / (2k),

где k — постоянная в законе Кулона, α = 45°, в общем случае угол нитей с вертикалью.

У Вас такой ответ?

У меня ответ

q = l (sin α) √([√3] mg (tg α) / k).

Лена, здравствуйте. Да, Вы правы. Там, конечно, обязан сидеть тангенс, потому что если угол приближается к 90 градусам, то и горизонтальные силы (ну и заряды тоже) должны стать бесконечными. Сейчас найду, где напортачил.

Рассмотрим правильный треугольник со стороной a, в вершинах которого сидят заряды. Возьмем один из зарядов и проведем через него ось симметрии треугольника. Со стороны каждого из двух других зарядов действует сила kq2 / a2. У нее две составляющие: вдоль оси симметрии (умножить на √3 пополам) и поперек оси симметрии (просто пополам). Те, что поперек, взаимно уничтожаются. Составляющие вдоль оси от двух зарядов складываются, получаем

F = 2 (kq2/a2) (√3) / 2 = (kq2 √3) / a2.

Отметим, что нить проектируется именно на эту ось симметрии, и длина проекции равна l sin α. И она же (длина горизонтальой проекции нити) — это две трети длины медианы. Вся медиана: a (√3) / 2. Две трети ее: a / √3.

Это условие дает связь между длиной нити и стороной правильного треугольника в основании пирамиды: a = l (√3) sin α. Это соотношение можно подставить в выражение для горизонтальной электрической силы:

F = kq2 (√3) / (3 l2 sin2 α) = kq2 / [(√3) l2 sin2 α].

Теперь рассмотрим шарик в равновесии. На него действуют три силы: горизонтальная электрическая, сила тяжести вниз и сила натяжения нити N вдoль нити. Силу натяжения нити можно разбить на две составляющие:

горизонтальную Nx = N sin α

и вертикальную Ny = N cos α.

Горизонтальная составляющая натяжения нити уравновешивается электрической силой, а вертикальная — силой тяжести,

N sin α = F,

N cos α = mg.

Разделим первое уравнение на второе и получим tan α = F / (mg), или

tan α = kq2 / [(√3) l2 (sin2 α) mg].

Или, что то же самое, (tan α) (sin2 α) (√3) l2 mg = kq2.

Соответственно, заряд:

q = l (sin α) √ [(√3) mg (tan α) / k].

Спасибо!

Всегда рада помочь.