Каким будет отношение энергий шаров? (10 ноября 2009)

Два металлических заряженных шара соединены тонкой проволочкой. Радиусы шаров R1 = 6 cм и R2 = 3 см. Каково будет отношение энергий шаров, если меньший шарик из них погрузить в керосин (E = 2) ? Емкостью проволочки пренебречь.

СПБ ГАСУ, заочная форма обучения, 2 курс (задания на листах).

Получился ответ:

W2 / W1 = (R1 + R2) / (R1 + εR2) = 1.

хм, но судя по формуле:

(6 + 3) / (6 + 3×2) = 9 / 12 = 3 / 4 (три четверти)

и, честно говоря, немного не понимаю, почему именно так, если можно — краткий комментарий, для себя...

Ошибка, 0.75. Пишите через форму контактов в моем профиле.
Емкость шара пропорциональна радиусу (раньше даже емкость конденсаторов писали на схемах в сантиметрах) и диэлектрической проницаемости окружающей среды:

C = 4πeoeR.

(обратите внимание, что это просто знаменатель дроби потенциала точки).

Cвязь напряжения, емкости и заряда:

Q = UC.

Энергия конденсатора:

W = U2C / 2 = UQ / 2 = Q2 / (2C).

Так как шарики связаны проволокой, то они имеют одинаковый потенциал (напряжение). Поэтому отношение энергии первого шара к энергии второго равно отношению емкостей шаров.

W1 / W2 = C1 / C2 = R1 / R2 (до погружения).

W1 / W2 = C1 / C2 = R1 / (eR2) (после).

Может, я не правильно понял вопрос и имеется в виду "Как относится общая энергия шаров до и после погружения?" (именно этот вариант решил zvv48).

Тогда так:

W1 / W2 = C2/C1 = (R1 + eR2) / (R1 + R2)   — так как при погружении общий заряд сохраняется, а напряжение падает.

Благодарю за комментарии, теперь все встало на свои места.
W1 / W2 = (C1 + eC2) / (C1 + C2) = (R1 + eR2) / (R1 + R2).

Заряд на шарах сохраняется, но он перераспределяется.

W1 = q12 / (2C1) + q22 / (2C2);

q1 / C1 = q2 / C2;

W2 = q32 / (2C1) + q42 / (2eC2);

q3 / C1 = q4 / (eC2);

Далее идут преобразования почти в страницу.

То, что заряд перераспределяется, — неважно. Важно то, что он остается неизменным. Поэтому применив формулу:

W = Q2 / (2C),

получаем, что суммарная энергия обратно пропорциональна суммарной емкости. Суммарная емкость шаров до погружения:

C1 = 4πeo (R1 + R2)   (параллельное соединение конденсаторов),

С2 = 4πeo (R1 + eR2),

отсюда:

W1 / W2 = C2 / C1,

а как заряды перераспределились — не важно.

ЗЫ. Так как суммарная энергия уменьшилась, то напрашивается вопрос: "Куда делась пропавшая часть энергии?" (Я бы на месте учителя обязательно спросил.)

У Вас в сообщении от 20 ноября написано ошибочно:

"Так как шарики связаны проволокой, то они имеют одинаковый потенциал (напряжение).

Поэтому отношение энергии первого шара к энергии второго равно отношению емкостей шаров.

W1 / W2 = C1 / C2 = R1 / R2   (до погружения).

W1 / W2 = C1 / C2 = R1 / (eR2)   (после).

Может, я не правильно понял вопрос и имеется в виду "Как относится общая энергия шаров до и после погружения?" (именно этот вариант решил zvv48).

Тогда так:

W1 / W2 = C2/ C1 = (R1 + eR2) / (R1 + R2)   — так как при погружении общий заряд сохраняется, а напряжение падает."

Поэтому я поправил.

Нет, у меня не ошибочный ответ. У меня два ответа. Дело в том, что вопрос в задаче сформулирован так, что допускает разные толкования.

Вопрос задачи:

"Каково будет отношение энергий шаров, если меньший шарик из них погрузить в керосин?"

Я вижу, по крайней мере три варианта толкования вопроса:

(1) Найти отношение энергии большего шара к энергии меньшего шара после того как меньший погрузили в керосин.

(2) Найти отношение суммарной энергии шаров до и после погружения меньшего шара в керосин.

Для меня более очевидной представляется формулировка (1), для Вас — формулировка (2). Я дал ответ для обеих вариантов понимания вопроса.

У меня возник точно такой же вопрос: а куда девалась энергия?

Давайте упростим задачу. Допустим, что шарик только один, и заряд на нем постоянный, а емкость пропорциональна радиусу и зависит от качества окружающего шарик диэлектрика. Опускаем шарик в керосин — энергия куда-то подевалась. Вытащили из керосина — энергия вернулась на место. Если мистику отбросить, то у меня объяснение только одно: шарик будет втягиваться в керосин, разгоняться или совершать полезную механическую работу, затратив на это ровно столько энергии, сколько нужно. А вот вытащить шарик из керосина будет не так легко, придется преодолевать какую-то (пока непонятную) силу и совершать работу, которая и пойдет на увеличение энергии конденсатора с тем же зарядом, но меньшей емкости. Правильно ли такое предположение, и если да, то какова природа этих затягивающих в керосин и мешающих вытащить из керосина сил?