Какую скорость приобретет мальчик под перекладиной? (17 января 2012)

Рисунок  к задаче 2.3.18Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высотой h. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой T. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки 2l, масса мальчика с санками m. Трением пренебречь.

Задача из сборника "Задачи по физике" под редакцией Савченко О. Я. Новосибирск, 2008 год, стр. 41.

Я пробовал решить задачу так:

F = T cos α,

F — горизонтальная составляющая T.

Т. к. угол между горизонталью и веревкой меняется, то я проинтегрировал выражение от α до 90° и получил:

F = T (l −h) / l,

но дальше ничего не идет, а как по-другому подойти к задаче — не знаю.

Найдите длину вытянутой веревки. Работа постоянной силы Т на этой длине пойдет на изменение кинетической энергии.
Начальная длина вытянутой веревки равна l, затем ее длина станет равной h, значит:

А = T (l −h ),

A = mv2/2,

T (l −h) = mv2/2,

v = √(2T (l −h) / m),

но ответ должен быть v = 2√(T (l −h) / m).

Может быть, начальная длина веревки равна 2l, а когда будет проезжать в нижней точке, то длина будет равна 2h.
Значит, работа будет равна A = 2T (l − h) ?
Сами подумайте, первоначально длина веревки равна 2l, так? Затем мальчик тянет за веревку, длина которой изменяется с двух сторон. Проезжая в нижней точке, длина веревки равна 2h. Какую длину веревки вытянул мальчик? На этой длине постоянная сила совершает работу. Попробуйте.
A = 2T (l − h),

A = mv2 / 2,

2T (l −h) = mv2 / 2,

v = 2√{T (l −h) / m}.