ВУЗ. Потенциал в центре квадрата (3.04.2009)

Тонкие стержни, заряженные с линейной плотностью 1.33 нКл/м, образуют квадрат. Найти потенциал в центре этого квадрата.

Методичка: электричество, магнетизм, оптика. Авторы: Коваленко И.И, Лавровская, Литвинова и др.

Комментарии

Сама решала, никак не сходится с ответом! Решение:

линейная плотность = q/L;

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4;

Φ = Kq/(L/2);

q = лин.плотн. • L;

Φ = 4K • лин.плотн. • 2;

Мой ответ: 95.8 В.

Ответ учебника: 84 В.

Где я ошиблась? Помогите, пожалуйста.Спасибо!

Довольно распространенная ошибка в электростатике. Состоит она в том, что применяются формулы, которые применять нельзя. Формула ? = Kq/L рассчитывает потенциал только для ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА (ну, еще для равномерно заряженной сферы и шара).

В данном случае речь идет о заряженном отрезке (формулу для бесконечной равномерно заряженной нити применять здесь тоже нельзя). Сводится задача к тому, что необходимо выбрать небольшой кусочек на отрезке, который можно считать точечным зарядом, а потом проинтегрировать по длине. Я задачу решил, но сейчас убегаю, времени нет писать решение. Попробуйте сами, если не получится, я покажу, как надо.

Тут надо интегрировать потенциал или напряженность?:)
Я интегрировала потенциал, там получился натуральный логарифм, но мне теперь не сократить длину! Как быть? Помогите, пожалуйста!
Пожалуйста, напишите задачку! Просто завтра уже сдавать надо, а у меня не получается!
рисунок к задачеВ общем, решение таково.

Обозначим сторону квадрата за . Из соображений симметрии очевидно, что каждая из четырех сторон вносит одинаковый вклад в суммарный потенциал в т. А. Из той же симметрии очевидно, что нижняя половина выбранной стороны создает такой же потенциал, что и верхняя (см. рис.). Таким образом, нам остается найти потенциал, который будет создавать половина стороны квадрата длиной а в т. А, а потом умножить получившийся результат на 8.

Итак, приступим. Выделим на половинке стороны квадрата небольшой кусочек длины dx, находящийся на расстоянии X от точки О. Поскольку длина этого кусочка очень мала по сравнению с x, можно считать ее точечным зарядом. Рассчитать этот заряд можно из формулы линейной плотности:

λ = dq/dx,

dq = λdx.

Потенциал, который создает точечный заряд dq в точке А, рассчитываем по формуле:

dФ = kdq/L.   (1)

Из рисунка видно, что cos α = a/L. Подставляя отсюда длину в (1) и подставляя туда же dq, получим:

dФ = (kλ(cos α)/а)dx.   (2)

Мы нашли потенциал, который создает маленький кусочек длины. Чтобы найти полный потенциал, необходимо проинтегрировать (просуммировать, другими словами) потенциалы, которые создают все другие кусочки половины стороны квадрата. Но прежде, необходимо связать dx с . Для этого необходимо рассмотреть треугольники ОАВ и ОАС (см. рис.):

tgα = x/a,   (3)

tg(α + dα) = (x + dx)/a   (4)

Дальше расписываем тангенс в (4) по формуле тангенса суммы углов и подставляем x из (3) в получившееся выражение:

(tg α + tg dα)/(1 − (tg α) × tg dα) = (a × tg α + dx)/a.   (5)

Дальше это выражение необходимо преобразовать (писать это здесь не буду, довольно громоздко). Отмечу, однако, что в ходе преобразования необходимо учитывать что при малых углах (а угол очень мал) выполняется соотношение: sin α = tg α = α (выраженному в радианах). Также надо учесть, что tg α >> tg dα. В итоге выражение (5) упрощается до такого:

а × dα/(cos2 α) = dx.

Далее подставив dx в (2), интегрируем по углу в пределах от 0 до 45°:

SdФ = Skλ/((cos α)dα).   (6)

(за S я обозначил знак интеграла). Формулу Ньютона-Лейбница здесь писать невозможно, поэтому приведу сразу результат интегрирования (оно при этом способе решения очень несложное, проделайте сами):

Ф = kλ × [ln(tg(п/8 + п/4)) − ln(tg(п/4))] = kλ × 0.88.

Здесь ln — натуральный логорифм, п — число "пи". Таким образом, Ф = 10.55 В. Не забудем, что мы нашли только восьмую часть общего потенциала. Результирующий потенциал равен:

Фo = 84.4 В.

P.S. 1) Задачу можно решать и по-другому, не выражая dx через . В уравнении (1) можно сразу расписать L по теореме Пифагора:

L2 = a2 + x2 и интегрировать сразу выражение kdq/√(a2 + x2) по dx. Однако интеграл в этом случае будет не табличный, как в приведенном мною решении.

2) Друзья, как здесь вставлять рисунки? Отправил чертеж на почту сайта, не знаю, когда выставят.

Спасибо огромное! Вы меня выручили!
Присланные рисунки я вставляю по мере поступления, но стараюсь, конечно, пораньше. Просто их еще надо обработать и закачать.

При создании задачи рисунки можно закачать там же. К комментарию рисунок просто так не добавить, но его можно прислать мне (остальное я сделаю сам) или же закачать на любой хостинг картинок, вставив здесь в комментарий html-код рисунка (его должны давать там же после закачки файла).

P.S. Хотя после этого я все равно закачиваю рисунок сюда и меняю ссылки, так как файлохостинги периодически чистят старые рисунки, и есть шанс, что нужный рисунок будет удален также.

Надоело разбираться?