На какую высоту поднимутся шары? (26 марта 2009)

Два шара массой М1 = 1 кг и М2 = 2 кг подвешены в одной точке на нитях длиной L = 1 м. Шар массы М1 отклонили на угол 30° и толкнули, сообщив ему при этом скорость Vо = 1 м/с, направленную по касательной к положению равновесия. На какую высоту h поднимутся шары после соударения, если удар считать абсолютно неупругим.

Источник: методичка/Н.А.Звездина, Л.П.Зеленин, В.М.Замятин, А.Н.Башкатов. Екатеринбург, изд-во УГТУ, 1997.

Комментарии

Задача на 1 уравнение.

Запишите закон сохранения энергии.

Запишем закон сохранения импульса:

M1(vo + v1) = (M1 + M2)v2,

но по закону сохранения энергии для шара массой M1:

M1(v12 − vo2)/2 = M1gH,

где H = L(1 − cos ?),   (? = 30°),

откуда:

v1 = √(2gL(1 − cos ?) + vo2).

Запишем закон сохранения энергии после удара:

(M1 + M2)v22/2 = (M1 + M2)gh.

Выражаем v2:

v2 = M1(vo + v1)/(M1 + M2) = [vo + √(2gL(1 − cos ?) + vo2)] M1/(M1 + M2).

Ну и выразим h:

h = [(vo + √(2gL(1 − cos ?) + vo2)M1/(M1 + M2)]2/(2g).

На первом этапе, до соударения, выполняется закон сохранения механической энергии:

m1gh1 = m1v12,

где h1 = L(1 − cos a).

На втором этапе при неупругом соударении шаров выполняется закон сохранения импульса:

m1v1 = (m1 + m2)v.

На третьем этапе снова выполняется закон сохранения энергии:

(m1 + m2)v2/2 = (m1 + m2)gh,

отсюда h = v2/(2g).

V = m1v1/(m1 + m2).

v — скорость шаров после удара движущихся как одно целое,

v1 — скорость шара массой m1 перед ударом, она же не равна Vо,

КАК её найти???

Огромное спасибо!!!
При неупругом столкновении рассмотрим закон сохранения импульса:

mv = (m + M) V,

откуда определим скорость тел после взаимодействия:

V = mv / (m + M).

Применив закон сохранения энергии:

(m + M) gh = (m + M) V2 / 2,

найдем новую высоту подъема тел после неупругого удара:

h = V2 / (2g) = (m/(m + M))2 • v2 / (2g).     (1)

Для определения скорости первого шара перед столкновением, запишем закон сохранения энергии:

mgl (1 − cos α) + mvo2/2 = mv2/2.

Из последнего уравнения выражаем v2 и подставляем в уравнение (1).

h = (m/(m + M))2 • (2gl (1 − cos α) + vo2) / (2g).

Примечание.

  1. Не понял у ИльяФр, начиная с первой строчки. Импульс — векторная величина.
  2. У makeeva ошибка в первой формуле.
  3. И уж совсем непонятно, за что Огромное спасибо!!!
а на сколько градусов отклонится один и второй шарик, как найти, подскажите ?
Высота подъема шариков связана с длиной и углом соотношением:

h = L − L cos α.

Надоело разбираться?