За какое время уровень понизится? (9 марта 2009)

Сосуд в виде полусферы радиусом R = 10 см до краев наполнен водой. На дне сосуда имеется отверстие с поперечным сечением S = 4 мм2. Определите время, за которое через это отверстие выльется столько воды, чтобы ее уровень в сосуде понизился на 5 см (ответ 10 мин).

Учебник: Трофимова, 1999 г, задача № 1.217.

Комментарии

Вообще-то портал ориентирован на школьную физику, насколько я знаком с тематикой сайта. Интегралы и производные изучаются разве что на факультативах. Решение задачи предполагает использование интегрирования для определения объема вытекшей жидкости. Могу для школьников предложить следующий вариант решения.

Найти формулу для определения объема сегмента сферической поверхности, а далее:

V = 0,6√(2gh) × st.

Выразите искомое время вытекания.

А что такое в формуле 0,6? Откуда эта цифра взялась?

И еще в формуле s, это s = 4 × 10−6 — то есть площадь маленького отверстия?

Коэффициент 0,6 связан с наличием вязкости. s — это площадь сечения маленького отверстия. Объем можно выразить интегрированием, если Вас не устроит готовая формула объема сегмента сферической поверхности.
То есть формула такая есть с 0,6?

V = πh2(3r − h)/3 — вот такая формула объема сегмента сферической поверхности, а что мне тут брать за h?

Комментарии Вы явно не читаете. 0,6 характеризует вязкость воды.

Что касается объема, Вам надо от объема половины сферы отнять записанный вами объем V.

Спасибо огромное)) Все получилось. Примерно 9.8 минут))) спасиииииибо))
malena, ну раз получилось, покажите решение :)

У меня лишь 2 повода для сомнения: в предыдущей задаче в Трофимовой сказано, что вязкостью пренебречь. Вероятно, автор полагал в этой задаче тоже пренебречь вязкостью воды. Интегрировать нужно. Т.к. это задачник для ВУЗов и опять-таки, в предыдущей задаче интегрирование используется (есть решение в книге).

Если в предыдущей задаче есть указание, что вязкостью пренебречь, то это не повод считать таковым и в следующей задаче. Не так ли, inkerman?

Давайте проинтегрируем:

S(h) = π(R2 − h2) — так меняется площадь сечения полусферы с высотой, отсчет ведем от поверхности.

Проинтегрируем S(h) по dh в пределе от 0 до h.

У меня получилось:

V = πR2h − πh3/3.

Далее считаем, что объем вода вытекает со скоростью v = √(2gh) в течении времени t через малое отверстие s, что справедливо для малых отверстий.

Время вытекания:

t = (πR2h − πh3/3)/(s√(2gh)).

После вычисления t = 363 c = 6 мин, если сделать поправку на вязкость, то t = 605 c = 10 мин.

Ваши рассуждения, inkerman?

У меня есть возражения:

  1. скорость вытекания зависит от уровня жидкости, а у Вас объем жидкости отдельно интегрируется, а потом делится на некую скорость.

  2. В Ваших обозначениях h — расстояние от центра полусферы до уровня воды. Но тогда скорость вытекания v = √(2g(R − h)).

  3. Учёт вязкости с помощью коэффициента 0,6 — откровенная профанация. Этот коэффициент зависит от чистоты воды, от температуры, от давления, от размера отверстия, от толщины полусферы и т.д. В этом смысле нет причин говорить что 0.6 лучше, чем 0.2, учитывает вязкость.

Нужно просто записать дифур:

√(2g(R − h))s dt = −π(R2 − h2) dh

и решить его. Если сделать всё аккуратно, то получается 5 минут.

В том то и дело, что для малых отверстий справедливо v = √(2gh).

А что касается коэффициента 0,6... Вы когда-нибудь делали эксперимент? Так вот, экспериментально получается, что скорость вытекания равна v = 0,6√(2gh).

Что такое h? Высота водяного столба или расстояние от центра полусферы до поверхности. Если высота столба — с формулой согласен, но учтите, что высота столба меняется с течением времени.

По поводу эксперимента: полученный результат зависит от указанных мной параметров (и, вероятно, не только от них). Или Вы хотите сказать, что для воды для тонкой сферы будет всегда 0,6 или около 0,6? Если так — пруфлинк в студию. Т.е. укажите авторитетный источник.

Не вдаваясь в тонкости решения, хочу напомнить участникам, что ответ по задачнику — 10 минут, а не 5.
Согласен. Но:

  1. точный расчёт без учёта вязкости дает именно 5 минут.

  2. в задачнике может быть ошибка, и ответ не 10 минут.

  3. возможно, нужно учитывать вязкость. Но как это сделать — неизвестно. В условии данных нет, а всякие 0,6 — просто циферка из головы, не более.
Вот Вам циферка из головы:

http://window.edu.ru/window/library?p_rid=27883

Математический анализ для решения физических задач. Шубин М.А, стр. 19.

Ну так Вы же подтвердили мои же слова.

В этом источнике приведена цифра 0.6 и сделано утверждение, что именно 0.6 характеризует наличие вязкости. При этом в источнике это утверждение никак не обосновано. Чтобы показать, что 0.6 не из головы, нужно обосновать, почему именно 0.6, а не 0.2, например.

Ваша книжка для математиков, там в физику особо не лезут. Они ввели коэффициент 0.6 просто для отмазки, мол, учли мы вязкость. В физике так не делается. Есть специальный коэффициент вязкости, который характеризует ТОЛЬКО жидкость и, зная геометрию сосуда, уже находят скорость истечения. Это целая отдельная задача и просто коэффициентом тут не обойтись.

Итак, ответ в задаче 10 мин − ошибочный?
Если вязкость учитывать, не хватает данных, т.е. задача некорректна. Исходим из предпосылки, что задача корректна. Тогда вязкость не учитывается авторами. Если не учитывать вязкость, ответ 5 мин.

Ответ 10 мин в задаче — ошибочный.

Исследование коэффициента вязкости воды от температуры: http://elenka43.narod.ru/new2.htm.
Это к чему?

Что η зависит от температуры?

Это, кстати, подтверждает мои слова: поправочный коэффициент зависит от температуры и, не зная её, говорить, что он равен 0,6, — преждевременно.

Во-первых, в задаче не указано, как расположена полусфера.
А от этого результат очень разный.
Если отбросить маловероятный случай "плоскость вертикально", то надо решать задачу для двух случаев:
"плоскость вниз" (как у чайника) и
"плоскость вверх", как у пиалы.

У меня получились числа, без учета коэффициента расхода:
2.4 мин — "чайник",
5.0 мин — "пиала".
Поклясться, что в вычислениях не допустил ошибки, не могу.

Коэффициент 0.6, который приводится в книге Шубина, это не коэффициент вязкости. Это коэффициент расхода. Описание, от чего он зависит, можно найти в книгах по гидравлике. Он зависит от вязкости через число Рейнольдса. При числах Рейнольдса больше сотни этот коэффициент мало отличается от 0.6 для вытекания через тонкую стенку. Если вытекание происходит через насадки разных форм, то этот коэффициент может довольно сильно отличаться от 0.6.
___
Решил проверить экспериментом этот коэффициент.
Взял консервную банку, сверлил в дне дырки диаметром 1.5, 2.0, 2.3 мм.
Засекал скорость падения уровня.
У меня получился коэффициент расхода примерно 0.8.
___
Не может ли кто дать более полные данные этого задачника, чтобы можно было найти его?

К задаче есть в задачнике рисунок. Схема "пиала".

Александр, у Вас есть возможность привести ссылочку, где говорится, что При числах Рейнольдса больше сотни этот коэффициент мало отличается от 0.6 для вытекания через тонкую стенку?

Задачник есть тут: http://www.alleng.ru/d/phys/phys123.htm.

Надоело разбираться?