За какое время пуля пробьет доску? (30 ноября 2008)

Пуля летит горизонтально (силой тяжести пренебечь) и попадает в доску толщиной H со скоростью Vo, после чего пуля пробивает препятствие и вылетает из доски со скоростью Vk. Силу сопротивления считать пропорциональной первой степени скорости. Определить, за какое время Δt пуля пролетит сквозь доску ?

Источник — НГТУ, Н. Новгород. Задачу выдал преподаватель.
Думаю, знаний школьника 11-ого класса должно хватить для решения этой задачи.


Мое решение

Векторы обозначены .

Пишем второй закон Ньютона для пули, когда она движется внутри доски:

ma = Fсопр   (1),

проецируем (1) на горизонтальную ось X и расписываем:
a = dV/dt;
Fсопр = − kV,
где k — коэфициент сопротивления.

Получаем:
m • (dV/dt) = −kV.   (2)

Разделяем переменные в (2):
m (dV/V) = −k (dt).   (3)

Интегрируем выражение (3):
в левой части в пределах от Vk до Vo,
в правой части в пределах от tk до to, где разность tkto есть искомое время Δt.

Получаем:
m • Ln(Vk/Vo) = −k (Δt).   (4)

Перенесем минус в левую часть выражения и внесем под логарифм в виде степени, после чего выразим k, тогда выражение (4) перепишем в виде:

k = (m/Δt) • Ln(Vo/Vk).   (5)

Далее действуем по методике задачи путь лодки до остановки и получаем, что:

kH = m (Vo − Vk).   (6)

Далее подставляем выражение для k из формулы (5) в (6) и находим решение:

Δt = (H/(Vo − Vk)) • Ln(Vo/Vk).

Размерность совпадает. Насколько верно решение и вообще сам ход мысли ?

Комментарии

Да все правильно. Непонятно даже, почему сомневаетесь.
Хотел, чтоб оценили, глаз "замыливается", и иногда пропускаешь ошибки.
Надоело разбираться?