Городская олимпиада по физике 2006 года в Бобруйске за 10-й класс


Задачи городской олимпиады Бобруйска по физике за 2006 год для 10-го класса:

1. Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью v. Требуется изменить направление скорости на 90°, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее a. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?

2. При плавании порожней рыболовной шхуны в одном из морей ватерлиния (уровень максимального погружения шхуны) находится на высоте hn = 0,5 м от поверхности воды, а в другом (более соленом) — на высоте hc = 0,6 м. При этом максимальная загрузка рыбой в первом море составляет mn = 50 тонн, а во втором — mc = 63 т. Найдите массу mo корабля без груза. Борта корабля в рассматриваемом диапазоне погружений можно считать вертикальными.

3. Некий хрупкий груз массой 1 тонна затащили по горке с углом наклона α, равным 30 градусов, вверх, потратив на это 4 МДж энергии. Затем этот же груз осторожно вернули назад, потратив энергии в 5 раз меньше. Какова высота горки Н и коэффициент трения μ груза о поверхность горки?

4. Плоский конденсатор, пластины которого расположены горизонтально, наполовину залит жидким диэлектриком с проницаемостью ε. Какую часть конденсатора надо залить этим же диэлектриком при вертикальном расположении пластин, чтобы емкости в обоих случаях были одинаковы?

5. Между неподвижным экраном и свечкой перемещают линзу. При этом на экране получают два четких изображения свечки высотами H1 = 16 см и H2 = 9 см. Во сколько раз эти величины отличаются от высоты h самой свечки?


помогите, пожалуйста, решить 4 задачу!!))
Задача 1.

Ускорение должно быть направлено все время нормально к скорости, так чтобы скорость не менялась по величине, а менялась только по направлению. Тогда движение будет проходить по дуге окружности радиуса R, и центральный угол в 90 градусов соответствует четверти полной окружности. Длина такой дуги:

1)   S = πR / 2,

a время на поворот:

2)   t = S / v = πR / (2v).

Найдем радиус дуги. Центростремительное ускорение:

3)   a = v2 / R, отсюда:

4)   R = v2 / a.

Получаем минимальное время, необходимое для такого маневра:

5)   t = πv2 / (2av), или окончательно:

6)   t = πv / (2a).


Задача 2. Введем обозначения.

ρc — плотность соленой воды,
ρn — плотность пресной (менее соленой) воды,
mo — масса порожней шхуны,
mc — максимально допустимая масса груза в соленой воде,
mn — максимально допустимая масса груза в пресной воде,
hc — расстояние от поверхности воды до ватерлинии для порожней шхуны в соленой воде,
hn — расстояние от поверхности воды до ватерлинии для порожней шхуны в пресной воде,
S — площадь поперечного сечения шхуны,
H — высота ватерлинии над дном шхуны.

В задаче есть четыре условия:

a) осадка порожней шхуны в пресной (или менее соленой) воде,
b) осадка порожней шхуны в соленой воде,
c) максимально разрешенная загрузка (т.е. есть загрузка с осадкой по ватерлинию) в пресной воде, и
d) максимально разрешенная загрузка в соленой воде.

Эти четыре условия приводят к четырем уравнениям статического равновесия, давайте их составим.

1)   mo = ρnS (H ? hn).

2)   mo = ρcS (H ? hc).

3)   mo + mn = ρnSH.

4)   mo + mc = ρcSH.

Неизвестных пять: это плотности пресной и соленой воды, ρn и ρc, площадь S горизонтального сечения шхуны, масса mo порожней шхуны и расстояние H между дном и ватерлинией. Однако обе плотности входят в уравнения только в виде произведений плотности и площади сечения S, поэтому удобно ввести два новых обозначения, Kn = ρnS и Kc = ρcS. Перепишем все четыре уравнения с этими новыми обозначениями:

5)   mo = Kn(H ? hn).

6)   mo = Kc(H ? hc).

7)   mo + mn = KnH.

8)   mo + mc = KcH.

Теперь неизвестных тоже четыре: это два новых параметра Kn и Kc, масса порожней шхуны mo и высота H от дна до ватерлинии. Собственно, на этом физика заканчивается, осталось чуть-чуть алгебры. В уравнениях 5, 6 раскроем скобки:

9)   mo = KnH ? Knhn.

10)   mo = KcH ? Kchc.

Произведения KnH и KcH, которые появляются в уравнениях 9 и 10, можно взять из уравнений 7 и 8. Тогда уравнения 9 и 10 пробретают вид:

11)   mo = mo + mn ? Knhn.

12)   mo = mo + mc ? Kchc.

А после упрощений:

13)   mn = Knhn.

14)   mc = Kchc.

Решаем эти уравнения:

15)   Kn = mn / hn.

16)   Kc = mc / hc.

Теперь решения 15 и 16 подставляем в уравнения 9 и 10, получаем:

17)   mo = mnH / hn ? mn.

18)   mo = mcH / hc ? mc.

Это система двух линейных уравнений с неизвестными mo и H. Поскольку равны левые части двух последних уравнений, то равны и правые части. Получаем новое уравнение с единственным неизвестным H — расстоянием между дном и ватерлинией.

19)   mn(H ? hn) / hn = mc(H ? hc) / hc.

Решим его и найдем высоту H:

20)   H = (mc ? mn) hnhc / (hn mc ? hcmn).

Подставляем это решение в любое из уравнений 17 или 18 и получаем массу порожней шхуны:

21)   mo = mnmc(hc ? hn) / (hn mc ? hcmn).

Подставляем числа и получаем массу порожней шхуны mo = 210 тонн.

Полученная формула позволяет понять, при каких данных решение существует, а при каких — нет. Числитель дроби в решении всегда положителен: осадка в соленой воде меньше, чем в пресной.

22)   hc > hn,

а значит и знаменатель должен быть положителен тоже. Приближаться к нулю знаменателю, понятное дело, нельзя, иначе масса mo станет неограниченной. Условие существования решения:

23)   hn mc ? hc mn > 0.

Его можно преобразовать к виду:

24)   mc / mn > hc / hn.

Объединяем неравенства 22 и 24, и условие существования решения (то есть совместимости исходных данных) принимает окончательный вид:

25)   mc / mn > hc / hn > 1.

Для тех данных, которые приведены в условии задачи, решение существует:

mc / mn = 63 / 50 = 1.26   и   hc / hn = 60 / 50 = 1.2.