Определить массу планеты (24 ноября 2011)

Пусть R₁ — радиус орбиты, по которой вращается планета.

Поскольку планета и звезда вращаются вокруг общего центра масс, то расстояние между ними должно быть всегда одинаково и равно R + R₁, но в последнем предложении сказано, что различием между радиусом орбиты планеты и расстоянием между планетой и звездой пренебречь, откуда следует, что расстояние между планетой и звездой равно R₁.

Объясним допустимость данного упрощения: направим оси так, как показано на рисунке:

и запишем уравнение для нахождения центра масс для оси oY. Как видно из рисунка, точка O находится на расстоянии R₁ от начала координат и это будет координатой центра масс, ⇒

R₁ = M (R + R₁) / (M + m),

откуда получаем равенство:

MR = mR₁,   или R₁ = MR / m.

M/m — очень большое число, поэтому R₁ >> R,

⇒

R можно пренебречь, когда будет идти речь о законе всемирного тяготения. Воспользовавшись им, можно записать следующее:

γmM / R₁² = Mv² / R,

⇒

γmR = v²R₁².

Подставив вместо R₁ выражение MR / m, получим искомый ответ.

В данном случае было сказано, что на некотором расстоянии от планеты R₁ находится центр масс, и это расстояние постоянно. Звезда находится на расстоянии R от центра масс. Поскольку в выбранной системе отсчёта планета была выбрана нулевой точкой отсчёта, то, учитывая, что центр масс находится на расстоянии R₁, и было записано следующее равенство. А выходит оно вот откуда: существует формула

x_ц.м = (m₁x₁ + m₂x₂+ ... + m_ix_i) / (m₁ + m₂ + ... + m_i),

где m — массы элементов системы (в данном случае звезда и планета), а x_i — координата центра масс этого тела в выбранной системе отсчёта. Для данной системы формула будет иметь вид:

R₁ = M (R + R₁) / (M + m),

mx = 0, поскольку планета была выбрана началом отсчёта. Центр масс звезды находится на расстоянии R + R₁ от начала координат.