| Астрофизический портал | |
|
Найдите конечную температуру идеального газа (26 июня 2009)
demagog - 26 июня, 2009 - 18:24
В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится идеальный одноатомный идеальный газ при температуре T. В начале поршень соединен недеформированной пружиной. После того как поршень освободили и система пришла в равновесие, объем газа увеличился в N раз больше начального. Найдите конечную температуру газа. Над поршнем газа нет.
Задача № 1009 из сборника "Учебно-научный центр довузовской подготовки и кафедра физики".
P.S. Какую роль здесь играла пружина? Как найти ее удлинение?
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
kx = P2S.
Газ совершил работу, которая пошла на увеличение энергии пружины.
(3/2) vRT1 − (3/2) vRT2 = kx2/2.
xS = (N − 1)V.
Если N >> 1, то адиабату использовать нельзя, т.к. был бы рывок поршня и это уже не квазиравновесие.
Если N ≅ 1, то с небольшой погрешностью, вероятно, можно. Закон сохранения энергии — более универсальная штука, чем адиабата, т.к. для адиабаты требуется доп. условие о квазиравновесном процессе.
T' — конечная температура, T — начальная. p — начальное давление, р' — конечное. V — объем газа.
νR = р'NV / T'.
Умножим равенство kx = p'S на x, получим kxx = p'Sx.
Еще у нас есть равенство xS = (N − 1)V, получаем kxx = p'(N − 1)V.
Приравняем изменение внутренней энергии газа и потенциальной энергию пружины. Получаем уравнение, откуда находим:
T' = 3NT / (4N − 1).
Когда я считал, что масса поршня не нулевая, то задача не решалась. А после "небольшого" уточнения demagog'а о массе поршня я уже не считал, мне так же показалось, что задача решения не имеет.
При этих условиях demagog решил задачу. Никаких замечаний нет. Я только покажу, как происходит сокращение величин. Обозначения те же самые, что у demagog'a, введу только V' = NV. Если x — длина сокращения пружины, то изменение объема газа Sx = V(N − 1). Всё это есть у demagog'a.
Когда газ расширился и пружина сократилась, силы уравновесились, и kx = p'S.
Из этого уравнения я исключаю k, так как эта величина в уравнение газового состояния не войдёт; k = p'S/x.
Работа газа равна энергии сжатой пружины:
A = kx2/2 = (p'S/x) × x2/2 = p'Sx/2 = p'V (N − 1) / 2.
Использую уравнение газового состояния для исключения p';
p'V'/T' = pV/T;
V' = NV;
p' = pT' / (NT).
Это значение p' подставляю в A;
A = pT'V (N − 1) / (2NT).
Теперь найду изменение внутренней энергии газа:
ΔU = 3/2 × (p'v' − pv) = 3/2 × ((pT' / NT) NV − pV) = 3pV(T' − T) / (2T) = −3pV (T − T') / (2T).
Знак "−" вынесен за скобки, так как T' меньше T.
Для адиабатического процесса A + ΔU = 0.
pVT' (N − 1) / (2NT) − 3pV (T − T') / (2T) = 0;
сокращаю на pV / (2T);
T' (N − 1) / N − 3(T − T') = 0;
T' (N − 1) − 3(T − T')N = 0;
T' (4N − 1) = 3TN;
T' = 3TN / (4N − 1).
Ответ: T' = 3TN / (4N − 1).
При N = 2 T' = (6/7) T.
Любопытно, что T' не может быть меньше 3/4 от T.
Для двухатомного газа T' не может быть меньше 5/6 от T.
Газ, сжимая пружину, как бы выдыхается.
Еще одно замечание. N в задаче дано, но именно N зависит от жёсткости пружины k.
Спасибо demagog'у за решение задачи, возможно, Вам не понравилось такое занудное изложение хода решения.
Кстати, если использовать уравнение адиабаты, то, например, для N = 2 получим T' = 0,76 T (6/7 = 0,86). Так что ошибка порядка 10 %, не так уж плохо.
А что думает научный руководитель портала по поводу этой задачки? Владимир Иванович, приняли бы Вы решение как правильное, если решать задачу через адиабату?
По условию задачи, цилиндр теплоизолирован. Процесс адиабатический, но не равновесный. Уравнение Пуассона применять нельзя. Уравнение же сохранения энергии применимо всегда.
Напрямую уравнение Пуассона нельзя применить для данной задачи. А если учесть определенные поправки, а, inkerman?
Я забыл, что процесс называется адиабатным и не являясь равновесным. В общем-то, я свое мнение не изменил по существу: ЗСЭ можно, Пуассона нельзя. Зато напомнил себе определение адиабаты :)
Уравнение Пуассона (адиабаты):
pVγ = const;
или TVγ − 1 = const,
где γ = (i + 2) / 2; i — степень свободы движения молекулы газа; для одноатомного газа i = 3 и γ = 5/3.
Допустим, мы всё же применим уравнение T/T' = (V'/V)γ − 1 к решению нашей задачи при N = 100;
T' = T / (V'/V)2/3 = T / N2/3 = T / 1002/3 = T / 21,54 = 0,046 T.
Вот бы хорошо так сжижать газы. Но это противоречит второму закону термодинамики. Эта задача — наглядный пример.
Inkerman, а если взять другое значение γ ? Какое, например, при N = 2?
Ваши посты говорят, что Пуассона нельзя, ЗСЭ можно. Но я нигде не писал противного, даже наоборот, первое сообщение — решение через ЗСЭ. А потом еще и писал, что решать через адиабату нельзя (подразумевая Пуассона). Вы точно ничего не напутали, а?
Страницы