Задача 6: стержень погружается в сосуд с водой

Деревянный стержень подвешен на нити над сосудом с водой. При подъеме сосуда стержень погружается в воду сначала вертикально, затем наклоняется, а при дальнейшем подъеме остается горизонтальным. Объясните демонстрируемое явление.



Решение:

При погружении стержня повышается выталкивающая сила Архимеда, и с некоторого момента теряется устойчивость вертикального положения. Пусть сечение стержня S, длина H, расстояние от вершины стержня до уровня воды h, плотность дерева ρд, плотность воды ρB. Масса стержня равна:
m = ρдHS.       (1)
Сила Архимеда:
FA = ρB(H − h)Sg = mg(H − h)ρB.       (2)
Hρд
В положении неустойчивого равновесия при небольших углах наклона стержня от вертикального положения моменты действующих сил не возвращают его, а «уводят» дальше.

Рассмотрим моменты силы Архимеда и силы тяжести относительно его вершины. При небольших поворотах сила Архимеда практически не меняется и вычисляется по формуле (2).
Плечо силы Архимеда:

(H − H − h) sin α = H + hsin α,       (3)
22
 FA(H + h)sin α =mg(H − h)ρB(H + h) sin α > mgH sin α,       (4)
2HρД22
После упрощения (4):
(H2 − h2)ρB   >   H2,       (5)
ρД
Неустойчивость вертикального положения наступает при:
h   <   hкр = H√(1 − ρд).       (6)
ρB
Можно показать, что сила натяжения при потере устойчивости не равна нулю. Действительно, в вертикальном погружении сила натяжения «зануляется» при mg = FA. То есть при:
h = ho = H(1 − ρд).       (7)
ρB
При:
ρд   >   1 всегда ho   <   hкр, так как:
ρB
√(1 − ρд)   >   1 − ρд.
ρBρB
При дальнейшем повышении уровня воды стержень будет наклоняться. При этом сила Архимеда не будет меняться практически до достижения горизонтального положения.

В горизонтальном устойчивом положении сила натяжения равна нулю.


Далее: упаковка и ножницы   [тема: качественные задачи по физике]