ВУЗ. Найти силу взаимодействия стержня и точечного заряда (14.10.2010)

На продолжении оси тонкого прямого стержня, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда 400 нКл/см, на расстоянии 30 см от конца стержня находится точечный заряд 20 мкКл. Второй конец стержня уходит в бесконечность. Определить силу взаимодействия стержня и точечного заряда.

СЗТУ, 2006 год, методичка. Задача 302.

Комментарии

Проинтегрируйте.
Что и с чем?
Выделите на расстоянии x, произвольном, элемент стержня dx и зарядом dq, который найдете из линейной плотности. Определите его силу взаимодействия с точеным зарядом, проинтегрируйте и найдите искомую силу взаимодействия.
Я знаю такую формулу, как она связана с dx и dq — понятия не имею, ведь d — это частичка стержня, расстояние нам задано 30 см.

Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, это значит, что в каждой точке стержня заряд — одинаковый и формулу, которую я знаю для этого:

E — это вектор и направлен вдоль линий действия сил электростатического поля.

Е = модулю |?| — это задано в условии (400) и делить на 2??o,

где ? — поверхностная плотность заряда (заряд одной единицы площади сечения стержня), ? — относительная диэлектрическая проницаемость среды (величина табличная), ?o — электрическая постоянная (?o = 8,85 × 10−12 Ф/м).

Если что-то упустил или в чём-то неправ, а как перейти к интегралу, понятия не имею и формулы такой не знаю, может быть и знаю, только не догадываюсь, так как плохо понимаю условие задачи...

Дано:

? = 400 нКл/см = 400 × 10−9 / 10−2 Кл/м.
r = 30 см = 30 × 10−2 м.
q = 20 мкКл = 20 × 10−6 Кл.
?o = 8,85 × 10−12 Ф/м.
F с индексом Кулона = ?

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределённого по стержню, к длине стержня (цилиндра):

? = Δq / Δl.

Это всё, что мне известно...

Но попробую её дорешать до конца и вот что я подумал:

E = ? / (2???or) = F/q   ⇒   F = ?

Я сделал такой вывод на основании того, что стержень равномерно заряжен по всей длине и поэтому напряжённости E1 = E2 = E... потому, что каждый заряд создаёт свое поле, не зависящее от присутствия других зарядов.

dF = kqdq/x2,

где dq = τdx.

Интегрируйте в пределах от x = l до x = ∞.

Не представляю, как и что интегрировать, идея интегрирования понятна, но о самом интегрировании нет мыслей... если есть возможность, не могли бы Вы написать полное решение этой задачи? И что такое т? Или это тау так написано? Спасибо!!!
F = 0∫kqdq/x2 = 0∫kqτdx/x2,   F = −kqτ/x |l = F = −kqτ/l,

где τ − линейная плотность заряда.

Вот моё решение по действиям.

1) Так как заряженный стержень не является точечным зарядом, то закон Кулона непосредственно применить нельзя.

2) Разобьём стержень на малые элементы и выделим на стержне элемент dr с зарядом dq = φdr.

3) Этот заряд можно рассматривать как точечный.

4) Тогда по закону Кулона:

dF = (1 / (4πεo)) q1dq / (εr2) = (1 / (4πεo)) q1τdr / (εr2).     (1)

5) Так как силы dF взаимодействия заряда q1 и зарядов dq на разных элементах стержня направлены в одну сторону, то геометрическую сумму сил можно заменить алгебраической.

6) Силу взаимодействия точечного заряда и стержня найдём интегрированием выражения (1):

F = (1 / (4πεo)) (q1τ / ε)     aa+l∫dr/r2 = = (q1τ) / (4πεεo) (1/a − 1/(a + l)) = q1τl / (4πεεo (a + l) a).

7) Проверим, даёт ли расчётная формула единицу силы.

8) Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений: получается Ньютон.

9) Произведём вычисления с учётом того, что 1/(4πεo) = 9 × 109 м/Ф.

10) F = 9 × 109 × 20 × 10−6 × 400 × 10−7 × 30 × 10−2 / (1 (30 × 10−2 + 30 × 10−2) 30 × 10−2).

в п. 6 пропущено действие, самого интеграла нет

сначала подставляется верхняя граница, потом нижняя.

Второй конец стержня уходит в бесконечность (условие задачи) − а у вас l конечная?

Заряды

Есть же верхний предел (a + l), а есть — нижний (a).

Читаю условие задачи:

...Второй конец стержня уходит в бесконечность...

Где здесь верхний предел? Какая длина у стержня?

верхний предел — (a + l ), а нижний — (a).
Теперь посмотрите на свой п. 6 и на вычисления. Посмотрите на интеграл − который Вы пропустили, сразу начали подставлять пределы. Напишите полученный интеграл в общем виде! Откуда у Вас при подстановке вместо l = 30 см?
F = (1 / (4??o)) (q1? / ?)     aa+l?dr/r2 = q1? / (4???o) (1/a − 1/(a + l)) = q1?l / (4???o (a + l) a).

l = бесконечности, так как стержень бесконечен по условию a = 30 см = 30 × 10−2 м, так как на расстоянии 30 см от ближайшего конца стержня находится точечный заряд, по условию задано.

Если я ошибся, напишите, пожалуйста, как нужно правильно, запутался. Спасибо!

dF = kqdq/x2,

где dq = τdx.

Тогда:

dF = kqτdx/x2,

F = ∫kqτdx/x2 = kqτ∫dx/x2.

Окончательно

F = −kqτ/x|aa + l,

где l стремится к (условие задачи).

Подставляем пределы:

F = −(kqτ/(a + ∞) − kqτ/a) = kqτ/a.

Учтено, что kqτ / (a + ∞) = 0.

Теперь Вы поправляйте меня.

F = ?kq?dx/x2 = kq??dx/x2.

F = (1 / (4??o)) (q1? / ?) aa+l?dr/r2 = = (q1?) / (4???o) (1/a − 1/(a + l)) = q1?l / (4???o (a + l) a).

Вам не кажется, что это одно и то же???

Если нет, то объясните, пожалуйста, почему?

Ваша: F = q1?l / (4???o(a + l) a)

Моя: F = kqτ/a = qτ/4πεoa.

Если в Вашу формулу вместо l подставить , то получите ∞/∞ = ?

Вот моя окончательная формула:

моя окончательная формула

1. Если Вы разделив сократите, то выйдете на мою формулу.

Но, интересно, в теории пределов lim {∞/∞} чему равно?

2. Теперь вернемся к Вашим вычислениям:

Вы подставляете в конечное выражение числа, а где замена l на бесконечное большое?

Уважаемый Владимир Грабцевич, до меня не доходит, если Вам не трудно, выложите, пожалуйста, полное решение этой задачи в комментариях и рисунок, а то, я чувствую, я тут во многом напортачил? Большое Спасибо!
F = −(kq?/(a + ?) − kq?/a) = kq?/a.

Почему у Вас минус после первого знака равно, там ведь должен быть плюс, ведь по формулу Ньютона-Лейбница ищем пределы?

∫r−2dr = −r−2+1/−2+1 = −r−1 = −1/r.

Вы подставляете в конечное выражение числа, а где замена l на бесконечное большое?

И как делается замена l на бесконечно большое???

У меня получился ответ F = 24 Ньютон

Надоело разбираться?