ВУЗ. Найти значения величин в схеме (24.07.2010)

рисунок к задаче

Комплексы полных мощностей генераторов в схеме (см. рис.) S1 = 250 + j1250 В·А;   S2 = 375 + j125 В·А;   I1 = 12.75e−j78°45´ А; индуктивное сопротивление XL = 10 Ом. Найти E1, E2, I2, I3, XC, R.

Источник: Сборник задач по ТОЭ, под редакцией Л. А. Бессонова, третье издание, стр. 27, задача № 3.21.

Напишу, как пытался решать.

Во-первых, не сразу понятно, угол между чем и чем записан в выражении тока. Найдя аргумент S1, убеждаемся, что это угол между E1 и I1 (правда, там есть разница в 4 угловые минуты, но, думаю, это можно списать на погрешность).

Теперь предлагаю отсчитывать все углы от I1. Составим систему на основе законов Кирхгофа и баланса мощностей.

 jXLI1 + jI2XC = S1.
|I1|
 jXLI1 − I3R = S1 S2.
|I1| I3

|I1| + I3 = I2.

S1 + S2 = j (|I1|2XL − I22XC) + I32R.

Решив эту систему, я получил неправильные ответы. Должно быть E1 = 100 В,   E2 = j50 В,   I2 = 7.07e−j45° А,   I3 = 7.85ej71°40´ А,   XC = 5 Ом,   R = 10 Ом. Не знаю, как с углами, но у меня даже модули не сходятся.

А можно уточнить... эта задача электротехнического склада... или физического...???
Могу посоветовать решебник...

depositfiles.com/ru/files/uvk3vy34j

И это уже не физика...
Это высшая физика, да ?
это ТОЭ - теоретические основы электротехники...
Метод комплексных амплитуд Вам в помощь. Ваша схема имеет две степени свободы, поэтому система будет содержать два уравнения с двумя неизвестными. Систему уравнений можно получить различными методами: по правилу Кирхгофа, методом контурных токов, методом наложения схем и т.д. Каким нужно Вам, я не знаю. В итоге Вы должны получить систему из двух линейных ДУ относительно токов I1 и I2. Сделайте для начала это, а дальше уже будем говорить о полных мощностях.
Для начала нужна система уравнений по законам Кирхгофа:

I1XL − E1 + I2XC = 0,

I3R − E2 + I2XC = 0,

I1 + I3 = I2.

Теперь нужно явно выразить I1 и I2.

Исключим из уравнений величину I3:

I1XL − E1 + I2XC = 0.

(I2 − I1) R − E2 + I2XC = 0.


i2 − (E2/R) + I2XC/R = I1,

(I2 − (E2/R) + (I2XC / R)) XL − E1 + I2XC = 0,

I2 (XL + (XCXL/R) + XC) = E1 + XLE2/R.


I2 = (XLE2 + RE1 / (XCR) + RXL + XCXL),

I1 = (−XCE2 + RE1 + XCE1 / (XCR) + RXL + XCXL).

Теперь нужно заменить XC и XL соответственно на 1/j\omegaC и j\omegaL, выделить мнимую и действительную части.

Что такое метод комплексных амплитуд? Все сигналы представляются в виде A = |A|ejwt+fi = Åejwt. Т.е. комплексная амплитуда хранит в себе информацию о частоте и сдвиге фаз. Предполагаем, что в цепи циркулирует сигнал только одной частоты (на самом деле не так, но справедлив принцип суперпозиции, т.к. рассматриваются только линейные системы). Вот если записать таким образом ток, циркулирующий в контуре, напряжение на одном из элементов этого контура, то отношение напряжения к току будет являться комплексным сопротивлением этого элемента. Для кондёра это будет 1/jwC, для катушки jwL. Это всё выводится, и доказывается правомерность таких действий, но об этом Вы почитаете в учебнике. В итоге получается, что с комплексными амплитудами можно работать как с обычными, для них можно использовать правила Кирхгофа, закон Ома.

Чтобы от комплексной амплитуды перейти к действительной, нужно взять модуль комплексного числа. Чтобы узнать сдвиг фаз на элементе цепи, нужно вычислить аргумент комплексной амплитуды.

Вам известна комплексная мощность. Она равна произведению комплексных амплитуд тока и напряжения. Выражение для тока я получил, осталось выделить мнимую и действительную части. После этого можно найти комплексную амплитуду напряжения. После этого − действительную амплитуду напряжений и токов. Вот, собственно, и вся магия.

Если Вам не трудно, напишите, пожалуйста, полное решение. У меня выходят очень громоздкие уравнения.
I1 = (−XCE2 + RE1 + XCE1/(XCR) + RXL + XCXL).

I1 = −j XCE2 + RE1 − E1/R + j RXL − XCXL = (RE1 − E1/R − XCXL) + j (−XCE2 + RXL).

Как-то так.