ВУЗ. Время скатывания, скорости шара и обруча (31.03.2009)

С наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом, скатываются шар и обруч. Длина наклонной плоскости 4 м. Пренебрегая потерями механической энергии, определить время их скатывания и скорости в конце наклонной плоскости.

Задача взята из методички АГУ.

рисунок к задаче Если тела скатываются без проскальзывания (а только в этом случае задачу можно решить и при этом никаких потерь механической энергии не будет), то тангенциальное ускорение точки соприкосновения тела с наклонной плоскостью относительно центра обруча/шара равно ускорению самого центра относительно неподвижной системы отсчета.

Далее делаем рисунок и записываем законы Ньютона для поступательного движения и вращательного:

mg sin α − Fтр = ma,   (1)

FтрR = Jβ,   (2)

где J — момент инерции тела, R — радиус, β — угловое ускорение, которое можно связать с тангенциальным ускорением а по формуле:

а = βR.   (3)

Моменты инерции J обруча и шара равны соответственно mR2 и 2mR2/5.

Выражая β из (3), подставляя его в (2) и подставив силу трения в (1), найдем:

а1 = (g sin α)/2 = 2.5 м/с2,

а2 = (5g sin α)/7 = 3.57 м/с2,

где а1 и а2 — ускорения обруча и шара соответственно.

Ну, а дальше все просто, зная путь и ускорение, находим время и конечную скорость по формулам:

S = at2/2,   (4)

V = at.   (5)