ВУЗ. Разница в высоте берегов (20.12.2009)

Река течёт с севера на юг на широте 60°, скорость реки 10 км/ч, ширина 400 метров. Какая будет разница в высоте берегов?

Домашнее задание первого семестра по курсу механики.

Комментарии

Начало решения.

Западный берег будет выше из-за действия силы Кориолиса, но как найти на сколько?

Вода в реке перпендикулярна к силе, действующей на неё, но сила Кориолиса действует параллельно. Может, я не ту силу учёл?

По-моему, в такой формулировке задачу решить нельзя совершенно. Так как высота берегов зависит в большой степени от истории реки и геологии местности, где она течет.

___
Может быть, имеется в виду: "Найти разность высот воды у разных берегов реки". Тогда если считать, что река течет в идеально прямом русле, по идеально сферически симметричной Земле, то можно предположить, что вертикаль для поверхности реки не совсем вертикальна, а складывается из суммы ускорения тяготения и ускорения Кориолиса. Поэтому плоскость поверхности реки будет немного наклонена по сравнению с горизонталью. И из-за этого наклона разность уровней у разных берегов будет такой:

___
Сила Кориолиса:

a = 2 [w • v] = 2 (2π / (24 × 3600)) × (10000 / 3600) sin (π/3) = 3.5e−4 (m / s2).

dh / L = a / g.

dh = La / g = 400 × 3.5e−4 / 9.8 = 0.014 (m) = 1.4 (mm).

___
Знаков я не пишу, так как боюсь в них запутаться. Из соображений природы силы Кориолиса для меня ясно, что уровень воды будет выше у правого берега для реки в северном полушарии и у левого для реки в южном полушарии (в задаче не указано, 60 градусов какой широты). Если для Вас и Вашего учителя такого обяснения недостаточно, то разбирайтесь со знаками сами.

Для учителя, думаю, будет достаточно, а вот для меня — не совсем.

Если не затруднит, объясните, пожалуйста, откуда взялась эта формула:

dh / L = a / g.

Тут бы неплохо нарисовать рисунок, но мне лень, попробую словами.

Если вода не течет, например в озере, то ее поверхность имеет форму сферы с радиусом Земли. Перпендикуляр к каждой точке поверхности воды направлен к центру Земли. Но если вода течет на широте, отличной от нуля, то на нее кроме силы земного притяжения действует сила Кориолиса. Так как при вычислении силы Кориолиса вектор угловой скорости вращения Земли и вектор скорости течения реки перемножаются векторно, то результирующий вектор направлен перпендикулярно им обеим. Если река течет в северном полушарии, то сила Кориолиса стремится сдвинуть реку вправо.

На воду реки действуют две силы, они складываются векторно, и результирующая сила направлена не к центру Земли (не вертикально), а немного в сторону. Так как сила, действующая на воду, направлена не вертикально, то поверхность воды будет не горизонтальной. (Имеется в виду в поперечном сечении. Что поверхность реки не горизонтальна в продольном сечении, понятно и так, иначе не было бы течения.)

Отклонение поверхности от горизонтали такое же, как и отклонение результирующей силы от вертикали. Так как поверхность должна быть перпендикулярна результирующей силе. Отсюда "dh / L = a / g".

___

ЗЫ.
Почему в северном полушарии река подмывает правый берег?

Посмотрите анимированную картинку в Википедии в статье "Кориолисова сила". Там хорошо видно. Река пытается течь прямо, а Земля, вращаясь, все время ее заворачивает. В северном полушарии — против часовой стрелки, то есть влево, поэтому правым берегом, его и подмывает. А если рассматривать реку в системе координат, связанной с Землей, то кажется, что река все время стремится повернуть вправо. Эта фиктивная сила и является силой Кориолиса.

Вопрос был не теоретический, а, скорее, математический. Из каких формул, кроме силы Кориолиса, Вы вывели эту формулу?
Н. И. Гольдфарб. "Сборник вопросов и задач по физике" (см. решение).

Задача № 2.16.

На тележке стоит сосуд с жидкостью; тележка движется в горизонтальном направлении с ускорением а. Определить угол наклона жидкости к горизонтали, считая положение жидкости в сосуде установившейся.

dh = L tg α = La / g.

В нашем случае a — кориолисово ускорение.

Надоело разбираться?