ВУЗ. Найти КПД цикла (25.10.2009)

Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты, изобары, изохоры. Найти КПД цикла, если при адиабатическом процессе объём идеального газа увеличивается в n раз.

ВУЗ. СибГУТИ, контрольная работа.

пояснение к решению

Пусть 1-2 — адиабата, 2-3 — изобара, 3-1 — изохора (как я понял).

Распишем КПД как η = A / Q1.

Работа будет равна разности площадей фигур под адиабатой и изобарой:

A = (V1p1 − V2p2) / (γ − 1) − (n − 1)V1p2.

p2 можно найти из ур-ния адиабаты:

pVγ = const.

Объём V2 = nV1.

Осталось выразить Q1.

По I началу термодинамики для изохорического процесса:

Q1 = ΔU = (i/2)νRΔT,

γ = (i + 2) / i,

следовательно, i = 2 / (γ − 1).

Изменение температуры находим по ур-нию Менделеева-Клапейрона:

ΔpV = νRΔT.

ΔT = p1(1 − (1/n)γ)V1 / (νR).

Теперь, если всё подставить, то p1V1 в числителе и знаменателе должны сократиться.

Если где ошибка, пишите. Успехов!

А я думаю, что у меня решение ошибочное, но всё же напишу. Т. к. КПД равен отношению полезной работы к работе полной (из определения), то я написал, что отношение площади под адиабатой (грубо треугольника) к отношению полной площади графика есть (грубо) трапеция.

Так так V увеличили в n раз, то давление должно понизиться в n раз соответственно, то есть там, где у Вас написано P2 = P3 точка на оси, у меня написано P/n, далее площадь треугольника равна половина произведения катетов:

S1 = 0.5 (P − P/n) (Vn − V).

Далее площадь трапеции — половина суммы оснований на высоту:

S2 = 0.5 (P + P/n) (Vn − V),

отсюда:

n = S 1 / S2 = 0.5 (P − P/n) (Vn − V) / (0.5(P + P/n) (Vn − V)),

сокращаем и получаем n = (n − 1) / (n + 1),

где P − P/n — катет 1, Vn − V — катет 2, P — основание одно, P/n — основание другое, Vn − V — как катет, так и высота трапеции.

Правильно или нет?

Ещё вопросик по Вашему решению: немного непонятно, как выразить P2 из уравнения адиабаты?
p1 • V1γ = p2 (nV1)γ.

p2 = p1 / nγ.

Не могли бы Вы написать, какой ответ у Вас получится в итоге?

Препод сказал, что моё решение неправильное...

И ещё. Не могли бы Вы поподробнее объяснить выражение (? − 1) − (n − 1)V1p2 ?

У меня получилось η = (nγ − nγ + γ − 1) / (nγ − 1).


Выведем формулу A = (V1p1 − V2p2) / (γ − 1) − (n − 1) V1p2.

Работа газа в этом цикле — это разность площадей под графиком адиабаты и графиком изобары. Работа газа при изобарическом процессе отрицательна и численно равна (n − 1) V1p2.

Найдём площадь под адиабатой.

Уравнение адиабаты: p1V1γ = pVγ.

Работа A = [интегрируем от V1 до V2] = ?pdV = ?(p1V1γ/Vγ)dV = p1V1γ(1/V1γ−1 − 1/V2γ−1) / (γ−1).

Теперь, если внести общий множитель в скобку и затем упростить, выразив, что не известно, опять же через p1V1γ = p2V2γ, получим формулу (V1p1 − V2p2) / (γ − 1).

N.B.

Вообще, можно было воспользоваться сразу той формулой, что получена после интегрирования. Просто я сначала глянул в справочник :)

Я думаю, что Вы ошиблись в следущих пунктах:


Так так V увеличили в n раз, то давление должно понизиться в n раз соответственно

Нет, это только для изотермического процесса.


отношение площади под адиабатой (грубо треугольника)

Так лучше не делать :)

Скорее всего, решение с треугольником и трапецией неверное...