ВУЗ. Определить скорость и ускорение как функцию высоты (15.10.2009)

Шар без скольжения скатывается с наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Определить значения скорости и ускорения поступательного и вращательного движения как функцию высоты Н. Построить графики зависимости этих величин от времени движения. Масса шара m, радиус R.

Задача из РГЗ по физике, 1 курс НГТУ.

Комментарии

Из основного уравнения вращательного движения относительно точки контакта шара с плоскостью:

Iε = M.

По теореме Штейнера:

I = Io + mR2 = 0,4 mR2 + mR2 = 1,4 mR2.

Тогда:

1,4 mR2ε = mgR sin α.

ε = (5g sin α) / (7R)   (график — прямая, параллельная OX).

a = εR = (5g sin α) / 7   (график — прямая, параллельная OX).

v = ?adt = (5gt sin α) / 7 + C   (график линейной ф-ции).

Будем считать, что шар начинает скатываться с высоты Ho. Тогда C = 0.

[Непонятно условие "Определить значения скорости и ускорения поступательного и вращательного движения как функцию высоты Н". Ведь на одной и той же высоте, в зависимости от высоты начальной точки движения, будут различные скорости]

Вертикальная составляющая vy = (5gt sin2 α) / 7.

Высота в момент время t будет равна H = −?vydt = Ho − (5gt2 sin2 α) / 14.

t = √[14 (Ho − H) / (5g sin2 α)].

Подставляем t в выражение скорости: v = (5g√[14 (Ho − H) / (5g sin2 α)] sin α) / 7 = 5g√[14 (Ho − H) / (5g)].

ω = v / R = (5gt sin α) / (7R)   (график линейной ф-ции).

ω = 5g√[14 (Ho − H) / (5g)] / R.

Благодарю, задача какая то навороченная...

Насчёт условия: написал слово в слово из методички.

Ещё раз спасибо.

Небольшой вопрос: обязательно ли применять теорему Штейнера, нельзя ли просто написать I = 2 / (5mR2) ?
Так там момент инерции относительно оси, проходящей не через центр масс, а через точку касания с плоскостью.
теорема Штейнера весьма полезна бывает
Надоело разбираться?