ВУЗ. Теплоперенос в разреженном газе (13.07.2009)

Пространство между двумя большими параллельными пластинами, расстояние d между которыми равно 5 мм, заполнено гелием. Температура T1 одной пластины поддерживается равной 290 К, другой — T2 = 310 К. Вычислить плотность теплового потока |q|. Расчёты выполнить для случая, когда давление p гелия равно 1 мПа.

Задача 10.79 из Чертова.

Не получается нужный ответ 35 мВт/м2. У меня выходит 42 мВт/м2.

Комментарии

1) Плотность теплового потока — это dQ/Sdt? Почему гелий, находящийся под давлением 100 000 Па, для таких малых характерных размеров, как 5 мм, считается разряженным?

2) Как решали? Писали уравнение Фурье q = CAPPA × dT/dx

qd = CAPPA (T2−T1) и находили q? Какое значение CAPPA брали?

Уважаемый das! Приставка "м" означает 1/1000, например, 1 мм = 10−3 м. Это ли не разреженный газ, 10−3 Па? А САРРА ниоткуда не надо брать, её надо вычислить по данным задачи.
Привык, что м = мега. Ну а раз это мили, то тогда действительно газ разряжен и каппу можно вычислить по известной формуле для идеального газа.
Какая у Вас получилась конечная формула, inkerman?
das, обращаю Ваше внимание на разницу в написании: м (маленькая) означает милли-, а М (большая) означает мега-. А потом из-за невнимательности полсайта ищет ошибку.
P √(2R / (πμT)) × (T2 − T1).
У меня получилось так:

CAPPA = (1 / 3) nVlcv.

V = √(8kT) / (πm;),

l = 1 / √(2n × 4πr2);

cv = (3/2) R,

CAPPA = n√(kT / πm)R / √(4πr2),

q = (P / kT) × √(kT / πm) × (R / √(4πr2)) × dT/d.

Да, но не учтено, что газ разрежен, тогда длина свободного пробега равна расстоянию между пластинами (длина расчетная 18 м, а расстояние между пластинами 5 мм, т.е. эффективная длина свободного пробега равна 5 мм). Ну, и т.к. газ разрежен, то:

dT / dx = (T2 − T1) / l.

Вовсе не обязательно равна, может быть и больше.
Эффективная больше быть не может. Меньше — может. Больше — нет.
Эффективная = средняя? Почему не может быть больше?
Задачка решена. Позже напишу решение.
q = (2k / (3πd2l)) × √(R / (πM)) × (T23/2 − T13/2).
Владимир Иванович, это ответ для случая плотного газа, а я задал вопрос по разреженному.

Решается задача так: число соударений с 1 м2 площади стенки в 1 с равно j = (1/4) nv, где v — средняя арифметическая скорость молекул, летящих от одной к другой стенке. Она для всех молекул одинакова (нет максвелловского распределения по скоростям) и равна v = √(3RT / μ).

Каждая молекула несет энергию (3/2) kT, тогда поток тепла от одной стенки к другой равен:

q = j [(3/2) kT2 − (3/2) kT1] = (3/8) P√(3RT / μ) (T2−T1) = 34,2 мВт/м2.

Неверно применяете формулу j = (1/4) nv. Тут v не средняя квадратичная скорость, а средняя арифметическая скорость равна √(8kT / πm). Вы мне так и не рассказали, что за эффективная длина свободного пробега и почему она не может быть больше d.
Нет, das, я все верно применил. v — это средняя арифметическая скорость молекул, летящих от стенки 1 к стенке 2. Т.к. столкновений между молекулами нет, то все эти молекулы имеют одну и ту же скорость, и эта скорость равна среднеквадратичной при максвелловском распределении.

А применять формулу √(8kT / πm) вообще нельзя, т.к. она выведена только для плотного газа, а тут другой случай. Если у плотного раза распределение по скоростям — плавный горб, то тут будет лишь 2 пика (как столбики): у молекул, летящих влево, один пик, а у молекул, летящих вправо, — второй.

inkerman, я не участвовала в решении задачи, но следила за ходом дискуссии. Вы рассчитали среднюю длину пробега атомов гелия при давлении p = 1 мПа. Повторю расчёт. Если неверно, поправьте.

Я нашла в таблицах, что эффективный диаметр атомов гелия d = 2 × 10−10 м (d = 1,9 × 10−10 м в другой таблице), но как рассчитать по-другому, я не знаю; теоретические расчёты не дают точного значения, эффективный диаметр и сечение определяют косвенно, как раз по измерениям теплопроводности и вязкости. Поэтому значения d я взяла из таблиц.

Эффективное сечение молекул находят по формуле π × d2 (а не πr2), так ведь? Концентрацию электронов нахожу из формулы p = nkT;

n = p / (kT);

k — постоянная Больцмана;

k = 1,38 × 10−23 Дж/К;

T = 290 К;

p = 10−3 Па;

n = 10−3 / (1,38 × 10−23 × 290) = 2,50 × 1017 м−3;   концентрация рассчитана при температуре T = 290 К; концентрация эта выше, чем у другой пластины, а длина пробега атомов гелия меньше.

Среднюю длину пробега атомов гелия можно рассчитать по формуле λ = 1 / (π × d2n) или более точной: λ = 1 / ((√2) × πd2n).

По последней формуле λ = 1 / ((√2) × π × 22 × 10−20 × 2,50 × 1017) м = 23 м.

Ну, 23 м / 0,005 м = 4600, во столько раз средняя длина пробега λ превышает зазор между пластинами. Ясно, что столкновений между атомами не будет, а если будут, то вклад в переносе энергии столкнувшихся атомов будет незначителен, этот процесс можно не учитывать.

Если же принять, что давление между пластинами 1 МПа, как посчитал вначале das, то λ = 0,23 мкм, тогда, наоборот, зазор между пластинами в 22 000 раз превышает среднюю длину пробега атомов гелия. Однако законы идеального газа применимы. Это, das, замечание по поводу Вашей реплики: если давление 1 мПа, то законы идеального газа применимы. Но ведь газовые законы применимы, если давление будет и 1 МПа! Не применимы только те формулы расчёта потока энергии q, которые Вы, das, привели, так как они выводятся при условии, что на пути атомов (молекул) от одной пластины к другой происходят их столкновения. das, раз Вам так понравилось давление 1 МПа, Вы можете попробовать рассчитать перенос энергии q по Вашим формулам при этом давлении, сравнить результаты и сделать выводы о диапазоне применения обеих формул, Вашей и inkermana.

inkerman, укажите, пожалуйста, источник, в котором написано, что формула √(8kT / πm) выведена только для плотного газа. И вот видите, spaits со свойственной ей любезностью показала, что длина свободного пробега аж в 4600 превышает расстояние между пластинами.
das, слабо вывести формулу самостоятельно?
Конечно, зачем выводить распределение Максвелла, если оно везде есть?
Уважаемый das и другие пользователи! Не жалейте скобок, записывая формулы, особенно сложные. Я потом стараюсь улучшить их вид, но часто это сделать трудно, поскольку все наши телепаты в отпуске :)
Формула средней скорости выводится из распределения Максвелла, которое справедливо для плотных газов и не работает для разреженных газов, тем более не находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Нет столкновений молекул ⇒ нет перераспределения энергии ⇒ нет распределения по энергиям молекул.
Для всех. Вот бесплатный электронный учебник "Физика в технических университетах" в 6 томах, МГТУ им. Баумана.

Том 2-ой, "Физическая термодинамика". Том 2-ой, часть 6-ая, "Явления переноса". www.lgrflab.ru/physbook/tom2/texthtml/ch6_3.htm Также ...ch6_2.htm Указанные линки относятся к обсуждаемой теме.

Попробую так, это ссылка на весь 2-ой том: www.lgrflab.ru/physbook/tom2/
У меня последний линк раскрылся. Часть 6-ую (явления переноса) найти уже нетрудно.

Учебник не особо понравился. Особенно когда пишут для потока частиц в стенку коэффициент 1/6. Это было в школе так. В ВУЗе уже должны писать 1/4. С другой стороны — зато доступно...

Касательно задачи. Оказалось, я был не прав. Тут максвелловское распределение по скоростям, и в этом das прав. Единственное, что энергия частиц, сталкивающихся со стенкой, в среднем будет не (3/2) kT, а 2kT.

Эта задача на совершенно более глубоком уровне рассмотрена в книге М. Н. Коган "Динамика разреженного газа", М., Наука, 1967, на стр. 257.

inkerman, книгу Когана в интернете прочесть не смогла.

2kT (а не (3/2) kT) потому, что происходят столкновения "атом-стенка" (а не "атом-атом")?

Нет, 2kT — это средняя энергия бьющихся в площадку молекул, если они распределены по Максвеллу, а (3/2) kT — это средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Например, если проделать небольшое отверстие в сосуде, то покидать его будут молекулы с средней энергией 2kT, т.е. выше средней по сосуду, что означает, что сосуд будет остывать. Это эффузия — истечение газов через маленькие отверстия. Всё это обычно уже рассматривается в ВУЗовской физике и выводится из распределения Максвелла.
Про эффузию я почитаю. Хотя немного есть и в упомянутом мною учебнике кафедры физики МГТУ.

Хочу ещё дополнить относительно распределения скоростей. Конечно, распределение максвелловское. Однако для решения данной задачи это не имеет значения. Массы атомов одинаковы, следовательно, их средняя скорость определяется температурой газа. И вот что интересно.

Если учесть соотношение vсредн.арифм. = √(2 / π) vсредн.квадр. (справедливое для распределения Максвелла), то такое же соотношение обнаруживается между Вашими ответами (который не сходился, 43 мВт/м2, и последним, верным, 34,2 мВт/м2). Смотрите, inkerman:

43 × √(2 / π) = 43 × 0,798 = 34,3.

Inkerman, всё же я не поняла и прошу Вас пояснить, почему энергия бьющихся о стенку молекул равна 2kT.

inkerman, книжка Когана трудновата, разбираться не захотелось.

spaits, если хотите, могу выложить для просмотра несколько страниц из данной книги.

das, если не трудно, выложите, пожалуйста, стр. 257 или несколько страниц, относящихся к теме удара молекул разреженного газа о стенку.
Нет, нетрудно.

стр. 257

А вот некоторые другие страницы: nnm.ru/blogs/f1sher/m_n_kogan_dinamika_razrezhennogo_gaza/

Страницы

Надоело разбираться?