ВУЗ. Вычислить разность потенциалов и построить графики функций (16.03.2014)

Точечный заряд q = 1,6 × 10−9 Кл находится в центре шара радиусом R = 0,04 м из однородного изотропного диэлектрика, его диэлектрическая проницаемость равна 2,5.

1) Построить графики функций f1(r) и f2(r) для случаев r ≤ R и r ≥ R.

2) Вычислить разность потенциалов ΔΦ между точками r1 = 2 cм и r2 = 8 см.

Задача взята из методички кафедры физики, 2010 год, Москва.

Помогите, пожалуйста, решить. Очень сложная задача попалась(

2. Поле снаружи сферы полностью совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы. Внутри сферы Е = 0. Разница потенциалов между любыми точками внутри сферы равна 0, а потенциал в любой точке сферы один и тот же, вплоть до поверхности.

E = −dφ / dr,

dφ = −Edr,

−∫(пределы φ1, φ2) dφ = ∫(пределы r1, r2) Edr.

рисунок к задаче

φ1 − φ2 = ∫(пределы φ1, φ2) dφ = ∫(пределы r1, r2) Edr = ∫(пределы r1, r2) q / [(4πεεor2) dr] = q / [4πεε ∫(пределы r1, r2) 1 / (r2 dr)].

1. Так как не понятно, о какой зависимости идет речь (f1 (r) и f2 (r)), предположу, что это зависимость от расстояния либо напряженности, либо потенциала.

рисунок к задаче

Мне показалось, что в условии задачи речь идет о сплошном шаре, а не о сферической оболочке. Шар из диэлектрика, стало быть, заряды в нем зафиксированы и перемещаться не могут. Поле внутри такого шара есть. В центре оно равно нулю, а к периферии шара растет линейно.
Так как из условия задачи тяжело сделать однозначный вывод о шаре (полый он или сплошной), то Ваше предположение, Diane, уместно.
И я тоже невнимательно прочитал условие. Заряд точечный, он не размазан по объему. Поле внутри не будет расти линейно. Просто этот точечный заряд окружает сначала один диэлектрик, потом другой. Лена, Вы могли бы объяснить, как работает теорема Гаусса в диэлектрической среде (в отличие от вакуума)? Допустим, есть точечный заряд и среда, проницаемость которой зависит от расстояния до центра, ε (r), в виде функции, которая может иметь или не иметь разрывы. Как выглядит электрический потенциал такой системы? В случае разрыва функции ε (r) что будет происходить на границе двух сред? Интуитивно кажется, что потенциал там может иметь излом, а напряженность поля — разрыв.
Лена, здравствуйте. Давайте разбираться. Если заряд размазан равномерно по всему объему шара, то поле растет с расстоянием линейно. Вернемся к Вашей задаче, где весь заряд — в центре полой сферы. Почему в Вашем решении внутри сферы поля нет? Сфера из диэлектрика, но даже если бы она была металлической. Проводниковые оболочки экранируют внешнее поле, а не внутреннее. А внутреннее, от заряда в центре — по теореме Гаусса — вроде бы останется?
Diane, согласна. Давайте разберемся.
Лена, здравствуйте. Давайте две задачи рассмотрим. Есть точечный заряд (положительный) в центре сферы, вокруг него полость, а дальше сферическая оболочка с заданными внутренним и внешним радиусами. Найти поле как функцию расстояния. В первой задаче оболочка будет металлическая, а во второй — из диэлектрика.

Задача 1. Оболочка из металла. В полости поле есть, и это обычное поле точечного заряда. Металлическая оболочка не пропускает поле от внешних зарядов внутрь. Но компенсировать поле заряда, который внутри, она не может никак. В соответствии с теоремой Гаусса. Проводим сферическую поверхность радиусом меньше внутреннего радиуса оболочки. Эта поверхность охватывает центральный точечный заряд. Дальше. Если центральный заряд, допустим, +q, то на внутренней поверхности металлической оболочки индуцируется заряд −q, а на внешней +q. Если провести гауссовскую сферу радиусом больше внутреннего радиуса оболочки, но меньше внешнего, то такая сфера охватит и положительный заряд +q в центре, и отрицательный −q на внутренней поверхности металла. Суммарный охватываемый гауссовской сферой заряд равен нулю. Соответственно, в металле поля нет. Если провести еще одну гауссовскую сферу радиусом, превышающим внешний радиус металлической оболочки, то такая сфера охватит и центральный заряд +q, и наведенный отрицательный заряд на внутренней поверхности металлической сферы −q, и положительный заряд +q на ее внешней поверхности. Суммарный охватываемый гауссовской сферой заряд +q, и это снова обычное поле точечного заряда.

Задача 2. Оболочка из диэлектрика. Во внутренней полости будет такое же поле, как и в предыдущей задаче — поле заряда +q. По теореме Гаусса. И то же самое можно сказать насчет поля за внешним радиусом облочки — оно тоже не будет отличаться от соответствующего поля в задаче 1. Разница будет лишь внутри оболочки из диэлектрика. Чтобы понять, каким будет это поле, снова применим теорему Гаусса. Теорема Гаусса говорит о том, что поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность (в данном случае — сферу с центром в той точке, где заряд) равен сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью. С точностью до эпсилон-ноль в знаменателе. Обратите внимание — всегда эпсилон-ноль, даже если события происходят в диэлектрике. Теперь вспомним, почему диэлектрики ослабляют поле? У них свободных зарядов нет, но есть диполи (система из двух зарядов разных знаков и разнесенных друг от друга на короткое расстояние). Под действием внешнего электрического поля эти диполи могут разворачиваться — происходит поляризация диэлектрика. Поскольку в центре сферы положительный заряд, диполи развернутся минусом к центру, а плюсом — к периферии. Если теперь провести в диэлектрике гауссовскую поверхность, нам придется "резать по живому", разрезая диполи попополам. Плюсы диполей останутся снаружи, а минусы внутри. Но влияет на поле только то, что внутри. К положительному заряду в центре сферы добавится небольшой отрицательный из-за разрезанных диполей. Суммарный заряд внутри гауссовской сферы останется положительным, но он станет меньше центрального заряда. Соответственно, поле в диэлектрике слабее.