ВУЗ. Найти напряженность поля в точке на продолжении стержня (19.02.2012)

Дан тонкий стержень длиной l = 10 см, по которому равномерно распределен заряд Q = 8 × 10−8 Кл. Найти напряженность поля в точке, лежащей на продолжении стержня, на расстоянии хo = 10 см от его ближайшего конца.

Источник: сборник задач МЭИ 1992 "Электричество".

Мое решение.

пояснение к задаче

Итак, Е (А) = Q / (4πeor2),

где r — расстояние между точкой и зарядом.

Пусть k = 1 / (4πeor2).

Т. к. у нас не точка, а тонкий стержень, то мы его можем разбить на маленькие заряды dq и dE (A) = k • dq / (l + xo − x),

где х — это расстояние от "0" до точки dq.

Теперь чтобы найти полную напряженность, нам надо просуммировать все dE, то есть проинтегрировать dE от 0 до l, и вот тут я теряюсь, потому что не могу найти dq, как его нужно выразить, я не знаю :(

В итоге должен получиться интеграл что-то вроде того:

ответ к задаче

Я бы выделил на расстоянии x от точки элемент стержня длиной dx и зарядом dq = (q/l) dx. Напряженность этого заряда в искомой точке: dE = k (q/l) dx / x2. Далее интегрируем от xo до xo + l.
так-с, решил. Итак:

dq = (Q/l) dl = (Q/l) dx, т.к. все на оси х.

Решаем интеграл выше, заменяя dq на (Q/l) dx, и константы выносим за знак интеграла.

Получается (kQ / l) • ol∫ (dx / (l + xo − x)).

Заменяем l+xo−x на y, получается:

dy = (l + xo − x)' dx = −dx.

Итого:

ol∫ (−y−2dy) = ol∫ (1 / (l + xo − x)) = l / (xo(l + xo)).

В итоге:

E = (kQ / l) • l / (xo (l + xo)) = kQ / (xo (l + x0)).