Определите ускорение бруска и массу груза (24 июня 2012)

к задачеК свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы mo, который модет скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальной момент нить с грузом отклоняют от вертикали на угол α и затем отпускают. Определите ускорение бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не меняются при движении системы. Чему равна масса груза?

Источник: Савченко, 2008, 2.1.49.

Ответ: a = g tg α,   m = mo (sin α) / (1 − sin α)2.

Комментарии

У меня вышло три уравнения:

X (горизонтальная ось):

moa = T (1 − sin α),

ma = T sin α.

Y (вертикальная ось):

ma tg α = mg − T cos α.

Но ответы не выходят. Где я ошибся?

Первое и, пожалуй, главное: Вам надо научиться связывать ускорения в нестандартных ситуациях.

Движение тел подчинено некоторым ограничениям, так как они соединены нитью, жесткой, нерастяжимой, такие ограничения называют кинематическими связями. Общий подход следующий: сместите брусок на некоторое малое расстояние, посмотрите, на какое расстояние сместится подвешенный груз, свяжите эти расстояния, а, значит, и ускорения.

Что касается Ваших уравнений.

А как Вы их дальше собираетесь решать? Во втором и в третьем уравнение у Вас a одинаковое?

Ну, я так и думал, но не знаю, как связать ускорение. И не знаю, как вписать 2-й закон Ньютона на брусок. А вот если вписать на груз, то выглядеть будет так:

max = T sin α,

may = max ctg α = mg − T cos α.

Думаю, здесь все ясно: Х — горизонтальная ось, Y — вертикальная ось, Т — сила натяжения нити.

Пытался связать перемещение бруска и груза, но не смог. И правильно ли уравнение на брусок:

moa = T (1 − sin ?) ?

Или же надо еще и силу реакции сюда вписать? Если да, то как она направлена, ведь здесь нить наклонена?

Смотрите решение здесь: fizportal.ru/problem-2-4-50
Если рассмотреть ситуацию в неинерциальной системе отсчёта (НСО), связанной с движущимся бруском и блоком на нем, то решение (с правильными ответами, совпадающими с ответами сборника) получается много более простым, чем в лабораторной системе.

Отметим следующие факты. В этой НСО:

1) сумма силы инерции и силы тяжести, действующих на груз, направлена вдоль нити;
2) ускорение грузика в ней также направлено вдоль нити и равно по модулю ускорению бруска (в лабораторной системе, естественно, оно будет другим).

Для решения достаточно написать в этой системе отсчёта три уравнения:

1) для бруска, в проекции на горизонтальную ось;
2) для грузика — в проекции на направление нити и в перпендикулярном направлении.

Надоело разбираться?