Когда шарик и тело достигнут основания наклонной плоскости? (17 июня 2012)

Посредине наклонной плоскости высотой H и углом наклона α = 30° лежит небольшое тело, коэффициент трения которого о плоскость 1/√3. В некоторый момент времени с вершины наклонной плоскости пускают с начальной нулевой скоростью шарик, масса которого равна массе тела. Через какие времена шарик и тело достигнут основания наклонной плоскости? Трением качения шарика пренебречь, удар шарика о тело считать абсолютно упругим.

Задача осталась у меня после олимпиады по физике во Владивостоке в конце 2011 года.

я что-то не понял: Vo = 0 у шарика? Если это так, то он попросту не будет двигаться, поскольку коэф. трения = tg α. Тогда T = бесконечность. Видимо, я неправильно понял задачу.
да, шарик пускают с начальной скоростью, равной нулю, но у шарика трения нету, трение только есть у тела.
а тогда, может, надо вписать энергию, чтоб узнать скорость шарика в момент удара.

Будет выглядеть так: mgH/2 = mv2/2,   ⇒

v = √(gH).

Потом импульс:   mv = mu + mw,

где u — скорость тела, а w — cкорость шара.

И еще раз энергию: mv2/2 = mu2/2 + mw2/2,

и так несколько раз. Можно найти прогрессию. Найти путь для каждого соударения. И суммировать прогрессию и ровнять её на h / sin α. Найти n — число соударений. И с помощью этого найти время (опять по прогрессии).

а можно поподробнее все это расписать??? буду очень благодарен.
ой, здесь даже прогрессию не надо писать, просто найдём время до столкновения:

t1 = v / (g sin α) = √(gh) / (g sin α) = [√(h/g)] 1 / sin α,

и t2, время, за которое тело достигнет основания (после столкновения):

t2 = h / (2 (sin α) √(gh)) = [√(h/g)] 1 / (2 sin α),

и это время два раза меньше, чем время, которое пройдет шарик до основания. Следовательно, время, за которое тело достигнет основания:

t = t1 + t2.

А время, за которое шарик достигнет основания, очевидно:

t' = 2t1.

Размышление:

так как удар абсолютно упругий, а тела имеют одинаковые массы, то после удара произойдет обмен импульсами, следовательно, шарик остановится, а тело начнет движение с начальной скоростью v = √{gH}, а так как оно покоилось, то движение будет происходить с торможением (сила трения превосходит проекцию силы тяжести на наклонную плоскость). А что шарик? Шарик начинает движение с половины высоты без начальной скорости вслед за телом. Ну и кто из них доберется до основания плоскости раньше?

Владимир Иванович, хочу Вас поправить и показать свой ход мыслей.

Сила трения и проекция силы тяжести на ось, параллельную силе трения, равны.

Докажу. По определению, сила трения равна произведению реакции опоры на силу тяжести, то есть Fтр = μmg cos α.

Так как нам дан коэффициент трения и угол наклонной плоскости, то Fтр = mg / 2.

Сила тяжести в проекции на данную ось mgy = mg sin α = mg / 2.

Значит, начальная скорость, которую приобрело тело после удара с шариком, постоянна.

Так как sin α = h / (2S), то S = h / (2 sin α) = h.

По определению, S = vot.

В итоге, t = h / √(gh).

Насчёт движения шарика. Мне кажется, что, хоть он и движется с ускорением a = g/2, всё равно он только ударит тело, чем только увеличит его постоянную скорость.

А как Вам такое:

Когда тело находится в покое на наклонной плоскости, то сила трения равна проекции силы тяжести:

Fтр = mg sin α.

Когда после взаимодействия тела с шариком тело получит импульс и придет в движение, то теперь, при скольжении, проявляется сила трения скольжения.

Fтр.ск = μmg cos α.

Так подобрали коэффициент трения, что тело находится на грани, но как себя тело будет вести после удара, как будет в впервый момент проявляться сила трения покоя, переходящая в скольжение?

Это не полное время, а время после столкновения и здесь исправления нет.

Цитата: Насчёт движения шарика. Мне кажется, что, хоть он и движется с ускорением a = g/2, всё равно он только ударит тело, чем только увеличит его постоянную скорость.

Тело в начальный момент времени просто лежало, значит, постоянной скорости не было.

Посмотрите график зависимости силы трения между взаимодействующими поверхностями от относительной скорости: fizportal.ru/plot-friction