Найти конечную скорость нижнего цилиндра (15 июня 2012)

Два гладких однородных одинаковых цилиндра радиуса R прислонены к вертикальной стенке. Из-за того, что нижний цилиндр чуть-чуть сместился вправо по горизонтальной плоскости, верхний стал опускаться по вертикали, и система пришла в движение. Найдите конечную скорость нижнего цилиндра.

Задача взята из всеми любимого задачника Савченко.

Ответ: (4/3) √(gR/3).

Комментарии

Здесь надо понять следующее: в какой-то момент времени цилиндры перестанут взаимодействовать, и, начиная с этого момента времени, нижний цилиндр будет двигаться дальше с постоянной скоростью.

Если мы поняли, то далее нам потребуется рассмотреть движение цилиндров именно в этот момент времени. До момента отрыва цилиндры движутся так, что проекции скоростей центров масс цилиндров на направление прямой, проходящей через их центры, одинаковы. Это будет первое уравнение, а второе уравнение — это закон сохранения механической энергии. Начинайте решать.

Я не понял: если v1 = v2 tg α, как вписать З.С.Э.?

Если вписать энергию для верхнего шара, нам нужен будет угол α. Как его найти?

Я не понял, как найти момент отрыва. Заранее спасибо.

1. Вы заявили задачу из Савченко О. Я, к тому же со звездочкой, поэтому предполагается (мной), что уровень Вашей образованности достаточный, чтобы с подсказки решить задачу.

2. Одно уравнение Вы уже записали с углом α, когда запишете ЗСЭ, тогда еще появится угол.

3. В момент отрыва скорость нижнего цилиндра перестанет увеличиваться, следовательно, dv2/dt = 0.

4. Итак, Вам потребуется записать уравнение скорости нижнего цилиндра и продифференцировать его, приравняв производную к нулю.

думаю вот так:

v1 sin α = −v2 cos α,

где v1 скорость верхнего, v2 — cкорость нижнего цилиндра.

А ЗСЭ:

2mgR (1 − sin α) = mv12/2 + mv22/2,   ⇒

2mgR (1 − sin α) = mv22(1 + ctg2 α),

оттуда 4mgR (1 − sin α) sin2 α = mv22,

по-моему, я неправильно его записал.

dv2/dt = N (cos α) / m, ⇒

соs α = 0 ?   α = 90° и это, похоже, тоже неправильно. Еще способ:

v2 = dx/dt,

dx = −2R (sin α) dα,

v2 = −2R (sin α) dα/dt ?

тогда нужна зависимость α(t). Или же dα/dt = w,     w = v1 (cos α) / (2R),

оттуда первое уравнение v2 = −v1 tg α.

Видимо, я дурак, раз уж не понял подсказки))

Первое правильное уравнение:

v1 cos α = v2 sin α.     (1)

Ваше уравнение v1 sin α = −v2 cos α  — неверное. По-вашему, цилиндры должны сжиматься, а они твердые.

Второе правильное уравнение:

mg2R (1 − cos α) = mv12/2 + mv22/2.     (2)

Далее из (1) выражайте v1 и подставляйте в (2), получите уравнение:

v22 = 4gR (1 − cos α) cos2 α.     (3)

Когда цилиндры перестанут касаться, скорость нижнего цилиндра перестанет увеличиваться, следовательно, в этот момент dv2/dt = 0.

Определите, при каком угле это возможно, найдя, что cos α = 2/3, подставите в (3) и найдете v2.

Примечание: угол α — это угол между вектором v1 и прямой, проходящий через центры цилиндров (на рисунке это две окружности, если смотреть с торца).

Последнее, как своему ученику: сделать рисунок, разобраться с уравнениями, сделать промежуточные выкладки, придти к конечному результату, осознать и опубликовать решение. Железное правило — все делать до осмысленного конца. Задача полезная.

цилиндры

Я вроде понял — там надо как v2 max брать. Тогда надо от уравнения (3):

v22 = 4gR (1 − cos ?) cos2 ?.

Производную к нулю равнять:

((1 − cos α) cos2α)/ = −2 (cos α) (sin α) + 3 (cos2 α) sin α = 0,   ⇒

cos α = 2/3.

v22 = 4gR (1 − 2/3) • 4/9,   ⇒

v2 = (4/3) √(gR/3).

Большое спасибо!!!

Надоело разбираться?