Астрофизический портал | |
|
Найти конечную скорость нижнего цилиндра (15 июня 2012)
W1sHM4sTeR - 15 июня, 2012 - 18:08
Два гладких однородных одинаковых цилиндра радиуса R прислонены к вертикальной стенке. Из-за того, что нижний цилиндр чуть-чуть сместился вправо по горизонтальной плоскости, верхний стал опускаться по вертикали, и система пришла в движение. Найдите конечную скорость нижнего цилиндра.
Задача взята из всеми любимого задачника Савченко.
Ответ: (4/3) √(gR/3).
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Если мы поняли, то далее нам потребуется рассмотреть движение цилиндров именно в этот момент времени. До момента отрыва цилиндры движутся так, что проекции скоростей центров масс цилиндров на направление прямой, проходящей через их центры, одинаковы. Это будет первое уравнение, а второе уравнение — это закон сохранения механической энергии. Начинайте решать.
Если вписать энергию для верхнего шара, нам нужен будет угол α. Как его найти?
Я не понял, как найти момент отрыва. Заранее спасибо.
2. Одно уравнение Вы уже записали с углом α, когда запишете ЗСЭ, тогда еще появится угол.
3. В момент отрыва скорость нижнего цилиндра перестанет увеличиваться, следовательно, dv2/dt = 0.
4. Итак, Вам потребуется записать уравнение скорости нижнего цилиндра и продифференцировать его, приравняв производную к нулю.
v1 sin α = −v2 cos α,
где v1 скорость верхнего, v2 — cкорость нижнего цилиндра.
А ЗСЭ:
2mgR (1 − sin α) = mv12/2 + mv22/2, ⇒
2mgR (1 − sin α) = mv22(1 + ctg2 α),
оттуда 4mgR (1 − sin α) sin2 α = mv22,
по-моему, я неправильно его записал.
dv2/dt = N (cos α) / m, ⇒
соs α = 0 ? α = 90° и это, похоже, тоже неправильно. Еще способ:
v2 = dx/dt,
dx = −2R (sin α) dα,
v2 = −2R (sin α) dα/dt ?
тогда нужна зависимость α(t). Или же dα/dt = w, w = v1 (cos α) / (2R),
оттуда первое уравнение v2 = −v1 tg α.
Видимо, я дурак, раз уж не понял подсказки))
v1 cos α = v2 sin α. (1)
Ваше уравнение v1 sin α = −v2 cos α — неверное. По-вашему, цилиндры должны сжиматься, а они твердые.
Второе правильное уравнение:
mg2R (1 − cos α) = mv12/2 + mv22/2. (2)
Далее из (1) выражайте v1 и подставляйте в (2), получите уравнение:
v22 = 4gR (1 − cos α) cos2 α. (3)
Когда цилиндры перестанут касаться, скорость нижнего цилиндра перестанет увеличиваться, следовательно, в этот момент dv2/dt = 0.
Определите, при каком угле это возможно, найдя, что cos α = 2/3, подставите в (3) и найдете v2.
Примечание: угол α — это угол между вектором v1 и прямой, проходящий через центры цилиндров (на рисунке это две окружности, если смотреть с торца).
Последнее, как своему ученику: сделать рисунок, разобраться с уравнениями, сделать промежуточные выкладки, придти к конечному результату, осознать и опубликовать решение. Железное правило — все делать до осмысленного конца. Задача полезная.
Я вроде понял — там надо как v2 max брать. Тогда надо от уравнения (3):
v22 = 4gR (1 − cos ?) cos2 ?.
Производную к нулю равнять:
((1 − cos α) cos2α)/ = −2 (cos α) (sin α) + 3 (cos2 α) sin α = 0, ⇒
cos α = 2/3.
v22 = 4gR (1 − 2/3) • 4/9, ⇒
v2 = (4/3) √(gR/3).
Большое спасибо!!!