Чему равна жесткость пружины с учетом погрешности измерений? (3 июня 2012)

рисунок к задачеНа графике представлены результаты измерения длины вертикально висящей пружины l при различной массе m груза, подвешенного к ней. Погрешности измерения величин, отложенных по осям, отражены на графике высотой и шириной прямоугольников. С учетом погрешности измерений можно утверждать, что жесткость пружины k по данным графика приблизительно равна...

Варианты ответов: 5 Н/м, 10 Н/м, 20 Н/м, 40 Н/м.

Источник: "ЕГЭ. Физика. Сборник заданий", задача A20.

Комментарии

Я рассмотрел 2 удлинения измерения длины пружины, чтобы решить систему с двумя неизвестными.

На графике даны длины пружин, то есть можно сказать, что l1 = lo + Δl1   и   l2 = lo + Δl2.

В итоге имеем систему из (1) и (2):

m1g = k (l1 − lo),     (1)

m2g = k (l2 − lo).     (2)

Решив эту систему, я получил, что k = m2g / [l2 − (m2l1 − m1l2) / (m2 − m1)], а подставив числа, взятые из графика, получил, что k = 10 Н/м, хотя в ответе k = 20 Н/м.

Что я делаю не так?

Наверно, неправильно взяты величины с графика.

Из Википедии: следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной.

А здесь разве не малые деформации?

Даже если и не малые, мы не сможем решить через механическое напряжение, потому что не знаем модуль Юнга, потому что не знаем, из чего сделана пружина.

мы не сможем решить через механическое напряжение, потому что не знаем модуль Юнга, потому что не знаем, из чего сделана пружина

Значит, Ваша формула никуда не годится, а задача ЕГЭ не имеет решения?

Используем закон Гука в общем виде, тогда:

σ = Eε.

Теперь составим систему:

σ1 = Eε1.

σ2 = Eε2.

Так как σ = F / S = mg / S   и   ε = Δl / l, то σ1 = m1g/S, σ2 = m2g/S,   ε1 = Δl1/l1,   ε2 = Δl2/l2.

Из этой системы найдём lo:

lo = l1l2 (m2 − m1) / (m2l2 − m1l1).

Используем другую формулу закона Гука:   Fупр = kΔl.

Значит, m1g = k (l1 − lo).

В итоге получил, что k = m1g / [l1(1 − l2(m2 − m1) / (m2l2 − m1l1)].

Вычислив, получил, что k = 17.54 Н/м.

Исходя из данных вариантов ответов, можно сказать, что k ≅ 20 Н/м.

Я Вам намекал, что эта задача на применимость закона Гука в конкретных условиях. На графике не прямая пропорциональность, поэтому k будет зависеть от того, какие l1 и l2 выбрать на графике. Если выбрать неправильно, то мы будем решать задачу не на упругую, а на пластическую деформацию, при которой закон Гука не действует.
Надоело разбираться?