На какую максимальную высоту поднимется меньший груз? (2 июня 2012)

рисунок к задачеДва груза, массы которых различаются в 2 раза, связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Меньший из грузов удерживают так, чтобы он касался поверхности стола. Более тяжёлый груз оказался при этом на высоте 30 см от поверхности стола. На какую максимальную высоту поднимется меньший груз, если его отпустить? Силы трения и сопротивления не учитывать. Ускорение свободного падения 10 м/с2.


Тренировочная олимпиада 153-го лицея г. Уфы.

ответ должен получиться 40 см
обозначения для решения

Рассмотрим динамику данной системы:

На тело с массой m и на тело с массой m/2 действуют сила тяжести и натяжение нити.

Значит, из рисунка можем сделать выводы:

T − mg/2 = ma/2.

mg − T = ma.

Решив эту систему, получим, что a = g/3.

Так как груз массой m проходит h1 с ускорением g/3 за время t, и груз массой m/2 имеет то же ускорение g/3 в течение времени t, то груз массой m/2 проходит за это время то же h1.

За h1 груз массой m/2 приобрел скорость v1, то есть v1 = gt / 3.

Найдем время, за которое груз массой m/2 приобрел такую скорость:

h = gt2 / 6.

Значит, t = √(6h / g).

v1g √(6h/g) / 3.

Теперь выразим h2 = v12 / (2g) = h1 / 3.

Значит, искомая высота h = h1 + h2 = 4h1 / 3.

После вычислений получим, что h = 40 см.

Замечание:

на тело с массой m и на тело с массой m/2 действуют сила тяжести и натяжение нити.

Натяжение нити = сила упругости, возникающая в нити при ее деформации (в данном случае бесконечно малой). Силу взаимодействия нити (в месте крепления нити к телу) и тела принято называть реакцией нити.

Вывод:

к телу с массой m и массой m/2 приложены (действуют): сила тяжести и реакция нити.

Я не об этом хотел сказать, а попробуйте решить задачу через закон сохранения энергии, это Вас заставит задуматься.

Тоже составить систему, найти ускорение, с которым тела двигаются до того момента, как тяжелый груз коснется поверхности стола, то есть g/3, потом сказать, что:

mgh/2 = mgh1/2 + mv12/4.

Значит, h = (2gh1 + v12) / (2g).     (1)

Выразив v1 и получив v1 = √(2gh1/3), подставим в (1).

Тоже получим, что h = 4h1 / 3.