На какой высоте тело оторвётся от полусферы? (28 апреля 2012)

к задачеНа гладкую поверхность закреплённой на столе полусферы радиуса R кладут небольшое тело и отпускают без толчка. На какой высоте h над столом тело оторвётся от полусферы, если его начальное положение находилось на высоте ho?

Задача Международной Жаутыковской олимпиады.

Комментарии

когда тело оторвется от полусферы? когда сила реакции опоры станет равна нулю. рассчитать этот момент не составит особого труда.

достаточно определить, когда центробежная сила полностью уравновесит силу тяжести.

mv2 / (R cos α) = mg,     (1)

v рассчитаем по закону сохранения энергии,

mv2 / 2 = mgR (1 − cos α),

отсюда v2 = 2gR (1 − cos α),

подставим в (1) и получим

2g (1 − cos α) = g,

2 − (2 cos α) − 1 = 0,

cos α = 2/3,

тогда h = ho − R/3.

2 − (2 cos ?) − 1 = 0,

cos ? = 2/3,

а разве не 2 cos ? = 1   и   cos ? = 0.5,   а   ? = 60° ?

я в 11 классе учусь... такие задачи могут в ЦТ попасться... если кто-то может объяснить эту задачу, помогите, пожалуйста!

Рассмотрим динамику тела, когда оно отрывается то поверхности полусферы:

По 2 закону Ньютона: N + mg = maц.

Так как по 3 закону Ньютона Fд = N, и сказано, что тело отрывается от поверхности, то есть N = Fд, то mg = maц.

Выберем ось, параллельную центростремительному ускорению, тогда:

mg cos α = maц.

Так как cos α = h / R,   то v2 = gh.

По закону сохранения энергии: mgho = mgh + mv2/2.

Преобразуем: 2gho = 2gh + v2.

В итоге h = 2ho / 3.

Надоело разбираться?