Определить вращающий момент, действующий на стержень (29 марта 2012)

На концах невесомого стержня длиной 1 м находятся два невесомых шарика с зарядами +1 Кл и −1 Кл. На перпендикуляре, проведенном через середину стержня, на расстоянии 0,5 м от основания перпендикуляра расположен точечный заряд 1 Кл. Определить вращающий момент (в кН • м), действующий на стержень.

Задача из тестов по электростатике по напряженности электрического поля, номер 8.

Помогите с ходом решения!

Комментарии

Для начала выполните рисунок к задаче.

Момент 1-й силы равен произведению силы на плечо (перпендикуляр, проведенный из середины стержня к направлению вектора силы взаимодействия зарядов 1 Кл и +1 Кл).

Момент 2-й силы равен произведению силы на плечо (перпендикуляр, проведенный из середины стержня к направлению вектора силы взаимодействия зарядов 1 Кл и −1 Кл).

Далее найдите M = M1 + M2.

Уважаемый В. Грабцевич!

Мною была решена задача следующим образом (см. фотографию), однако ответ, полученный мною, не соответствует ответу в тесте. Из Ваших слов, сказанных ранее, у меня момент так и находится!!!

решение задачи

Cила взаимодействия основных зарядов равна:

F1-2 = kq2 / l2.

Cила взаимодействия основного заряда с дополнительным:

F1-3 = F2-3 = kq2/ (0.5 l2).

Равнодействующая сил F1-2 и F1-3 определится векторным сложением, а величина определится по формуле косинусов.

F12 = F1-22 + F1-32 − 2F1-2F1-3 cos 135° = {kq2 / l2}2 + {kq2 / (0.5 l2)}2 + 2 {kq2 / l2}2 √2.

F1 = k {q2 / l2} • 71/2 • 21/4.

F2 находится аналогично, только вместо cos 135° будет cos 45°, а величина будет:

F2 = k {q2 / l2} • 31/2 • 21/4.

Теперь надо найти проекции этих сил на вертикаль. Для этого надо знать величину углов между этими силами и вертикалью. Без чертежа довольно трудно (как вставлять чертёж, я не знаю).

По теореме синусов из треугольника, образованного векторами F1-2,   F1-3,   F1, нахожу F1-2 / sin α = F1-3 / sin (135° − α).

В итоге получилось α = 28,9°, а угол между вертикалью и направлением F1 получился 90 − 28,9 = 61,1°. А между вертикалью и направлением F2 —   73,9°. Тогда сумма проекций будет F1 cos 61,1° и F2 cos 73,9°. Если выразить F1 через F2, то получим:

F1 = F2√(7) / 2.

Момент будет равен:

М = F1l / (2 cos 61,1°) + √(7/3) F1l / (2 cos 73,9°) = F1(l/2) (cos 61,1° + √(7/3) cos 73,9°).

После подстановки значений получилось:

М = 0,539 k = 4,85 × 109 Н • м.

Теперь надо найти проекции этих сил на вертикаль.

1. Результирующий вектор Вы находите, воспользовавшись правилом параллелограмма. Посмотрите на это по-другому: вектор силы взаимодействия основных зарядов направлен вдоль прямой, соединяющей эти заряды, и перпендикулярен вертикальному направлению. Проекция этого вектора на вертикальное направление равна нулю. В таком случае остается только проекция вектора силы взаимодействия основного и дополнительного зарядов.

2. Тогда зачем городить огород? Находить результирующую силу? Если в качестве точки вращения мы берем центр масс системы основных зарядов, то плечо силы взаимодействия основных зарядов равно нулю. Плечо же силы взаимодействия основного и дополнительного зарядов может быть получено как (l/2) sin 45°, или F = F sin 45°. Момент силы в этом случае равен M = F (l/2) sin 45°, или M = F (sin 45°) (l/2).

Слона-то я и не приметил. Красиво Вы убрали силы вдоль стержня. После этого всё очень просто.
Уважаемый В. Грабцевич, из Вашего сообщения и Ваших разъяснений выходит тоже самое, что и представлено на фотографии. Так как F взаимодействия основного и дополнительного заряда будет равна F = Q2 / (4πЕr2), где r = l / (2 sin 45°) = √(d2 + (l/2)2)   (Е = 8,85 × 10−12). А для полной картины Ваш момент необходимо умножить на два, и получается опять же, повторюсь, по значению, что и на фотографии. Поправьте, если я где-то ошибся в своих расчетах или логике вычисления силы взаимодействия основного и дополнительного заряда.
Надоело разбираться?