На сколько см кажущееся положение рыбки ближе реального? (12 февраля 2012)

Аквариум из тонкого стекла имеет форму шара радиусом 3 м. Аквариум заполнили водой и запустили туда маленькую рыбку. В какой-то момент рыбка оказалась между глазами наблюдателя и центром шара, на расстоянии 1 м от центра. На сколько сантиметров кажущееся положение рыбки будет ближе реального? Показатель преломления воды 4/3.

Источник: Черноуцан, 13.23.

Для начала ознакомьтесь с решением задачи № 9 на стр. 293 у Черноуцана. По такому же принципу будет решаться и задача 13.23.

Выполните рисунок, направляя луч света от рыбки под малым углом. В точку падения луча на сферическую поверхность нарисуйте перпендикуляр — это будет радиус, проведенный в точку падения луча. Далее нарисуйте вышедший луч, продлите его до пересечения с линией, на которой находится центр сферы, рыбка, глаз наблюдателя. Точка пересечения и будет мнимое положение рыбки. Далее решайте, воспользовавшись подсказкой из решения указанной выше задачи.

Проблема в том, что источник не в центре и не на поверхности, а на расстоянии 1 м от центра.
Вы рисунок выполняли? Где получается изображение рыбки?
Рисунок:

рисунок к задаче

Рисунок грубоват, если учесть, что углы α и β малые, то можно Ваш рисунок принять. Еще перпендикуляр, проведенный из точки падения луча на сферическую поверхность на направление OS, должен попадать как можно ближе к концу радиуса. Надо было еще обозначить точку падения луча на сферическую поверхность.
В задаче 9 на стр. 293, когда находили высоту, считали, что перпендикуляр из точки падения попадёт в точку пересечения непреломлённого луча с поверхностью. В этой задаче также?
В этой задаче также. Ваш рисунок очень грубо нарисован. Точка пересечения продленного луча пересечет луч OS ближе к точке S. Предлагаю рисунок заменить, ввести дополнительные точки обозначения и начинать решать. Посмотрите рисунок и решение к задаче fizportal.ru/geomoptics-42
Новый рисунок:

рисунок к задаче

Ок. То что надо. Давайте свои уравнения, будем уточнять.
Получилось решить, действуя по аналогии с задачей fizportal.ru/geomoptics-42.

Угол SOD = γ,

OD / (α + γ) = OS / α,

MO / β = OD / (β + γ).

Выражая из первого γ, подставляя во второе и зная, что β = nα, находим:

MO = nOD / (n + OD/OS − 1),

МS = MO − OS.

Но это решение не очень похоже на решение из задачи на 293 стр. Может, есть другой вариант решения?

Подсказка у Черноуцана предлагает общий подход к решению задачи. Здесь важно, где находится источник по отношению к наблюдателю и к центру заполненной сферы. Возможны различные ситуации. Подсказка на FizPortal.ru ближе к задаче 13.23.