Какова была скорость мотоцикла? (14 января 2012)

По прямой дороге равнозамедленно двигался автомобиль. В момент времени, когда автомобиль проезжал мимо пункта C, его скорость была равна uo = 30 км/ч. В этот же момент из пункта C выехал мотоциклист, который двигался с постоянным ускорением в ту же сторону, что и автомобиль. К тому моменту, когда скорости автомобиля и мотоцикла сравнялись, расстояние от автомобиля до пункта C превышало расстояние от мотоцикла от пункта C на s = 100 м. Автомобиль остановился на расстоянии 3s от пункта C. Какова была скорость мотоцикла vo в момент остановки автомобиля? Какое расстояние S проехал мотоцикл к моменту остановки автомобиля?

Областная олимпиада г. Алматы. Задача 2008 года.

Путь 601 м и скорость 16.7 м/c ?
у меня вышло 606 м и 8.4 м/с.
Ну прямо форум экстрасенсов-олимпиадников :)

А как насчет решения с формулами?

Задачка несложная, немного запутана, вот наваял решение на скорую руку.

Сначала определим ускорение автомобиля и время его движения от пункта С до остановки.

Это очень просто, составим систему уравнений.

Пусть u — скорость авто в момент прохождения пункта С.

3s = ut − at2/2.

a = u / t.

a — ускорение автомобиля (я тут учел сразу, что движение равнозамедленное).

t — время движения авто от С до полной остановки, т е конечная скорость = 0.

Решая систему, получим:

a = u2 / (6s),
t = 6s / u.

u = 30 км/ч,
s = 100 м.

Теперь надо тупо найти ускорение мотоцикла и время его движения до остановки авто.

а — ускорение авто, А — ускорение мото, Т — время движения авто и мото до момента, когда их скорости сравнялись, V — их скорость .

а = (u − V) / Т   — тут я учел, что конечная скорость машины будет меньше начальной.

А = V / Т.

Путь, прошедший авто до сравнивания скоростей = uТ − аТ2/2.

Путь, прошедший мото до сравнивания скоростей = АТ2/2.

По условию задачи их пути отличаются на s = 100 м, тогда

uТ − аТ2/2 − АТ2/2 = s   (или = 100 м).

Подставим сюда ускорения авто и мото, получим:

uТ − (u − V)Т2/(2Т) − VТ2/(2Т) = s.

Решая это безобразие, получим: Т = 2s / u   — время движения авто и мото до момента, когда их скорости сравнялись (= 24 сек).

Найдем скорость мото и авто V:

а = (u − V) / Т = u2 / (6s)   и   Т = 2s / u, отсюда V = 2u / 3.

Зная, что А = V/Т, получим А = u2 / (3s) — ускорение мотоцикла.

Итак, мы знаем, что мото двигался с ускорением А = u2 / (3s), и время его движения t = 6s / u — это время движения авто до полной остановки.

Ответим на первый вопрос задачи:

скорость мото в момент останова авто = Аt = (u2 / (3s)) (6s/u) = 2u = 60 км/ч, или 16,7 м/с.

Второй вопрос задачи — путь мото до останова авто = Аt2/2 = (u2 / (3s)) (6s/u) (6s/u) / 2 = 6s = 600v.

Ответ: скорость мото в момент останова авто = 2u = 2 × 30 = 60 км/ч.

Путь мото до останова авто = 6s = 6 × 100 = 600 м.

Я решал, тоже составляя систему уравнений, но других. Да так составил, что у меня было неизвестных в системе на один больше, чем уравнений, и я решил приравнять их ускорения. Странно, но ответы получились такие же.
Приравнивать ускорения нельзя (в задаче об этом ничего не сказано, либо нужно обосновать, почему ускорения равны). В моем решении видно, что модули ускорений отличаются в 2 раза (если решение верно). Приравнивать нужно времена движения, т. к нужно найти скорость мотоцикла в момент остановки автомобиля. Вообще, ответом к задаче должны быть не только конечные цифры, а конечные формулы и результат вычисления по ним. Если интересно, давайте свое решение, посмотрим, пообсуждаем.

Я знаю, что приравнивать нельзя, поэтому я крайне удивлён, что моя фантазия дала такой же ответ.

Вообще в таких задачах ответ должен указываться в виде формулы, а не конкретных цифр. При правильном решении независимо от его способа итоговые формулы будут одинаковыми.
Конечно, это так. Вот в этом-то и штука: я решал так, как нельзя. Просто предположил.