Найти отношение массы Марса к массе Земли (27 февраля 2008)

Автоматическая станция обращается вокруг планеты Марс с периодом T = 18 ч. Максимальное удаление от поверхности Марса (в апоцентре) a = 25000 км, минимальное (в перицентре) p = 1380 км. По указанным параметрам орбиты станции определите отношение массы Марса к массе Земли. Радиус Марса rм = 3400 км, радиус Земли rз = 6400 км.

Задача из заочной олимпиады МФТИ (2007/2008 учебный год, для 10 класса).

Подсказка: воспользуйтесь третьим законом Кеплера. Спутник движется по эллипсу, большая полуось которого равна с = (a + p)/2 с центростремительным ускорением:
(  )2 • ( p + a )3 =  GMм.
T2

Для Земли и Луны (например) будет выполняется аналогичное условие. Через отношение Вы найдете ответ на вопрос задачи Mм/ Mз.

Изучите теорию по данному вопросу.

Спасибо!
Решение:
большая полуось равна с = (a + p)/2

центростремительное ускорение равно: (2п/Т)2 • ((p+a)/2)3 = GMм     (1)

орбитальный период Луны — 656 часов;
апоцентр - 405696 км;
перицентр - 363104 км.

(2п/Тл)2 • ((pл+aл)/2)3 =GMз     (2)

Делим (1) на (2):
(2п/Т)2 • ((p+a)/2)3/(2п/Тл)2 • ((pл+aл)/2)3 = GMм/GMз

Тл22 • (a + p)3/(pл+aл)3 = Mм/Mз

Подставляя числовые значения получаем: Mм/Mз = 0,5353.
Если подставлять в отношения данные из справочника, то получается 0,11 (ошибка практически в пять раз!)

Примечание: подозрительно малое значение минимального расстояния, если увеличить на порядок (13800 км), то в отношении получим 0,17. Пересчитайте свое значение.
ответ такой же
А для чего даны радиусы Марса и Земли?
Решение:

GMзMл/(rз + cл)2 = MлV2/(rз + cл),
где cл — большая полуось Луны, а V — скорость ее обращения.

V2 = 4п2(rз + cл)2/Tл.

GMз/(rз + cл) = 4п2(rз + cл)3/Tл.

Аналогично для Марса и автоматической станции. Разделив одно уравнение на другое получим формулу для искомого отношения. Подставив числовые значения получаем ответ: 0,1.

Орбитальный период Луны — 656 часов; большая полуось Луны — 384 399 км.

Замечания:

1. Откуда берется расстояние p и a?

2. Скорость расчитывается по формуле v = 2πR/T. Сравните с Вашей скоростью в квадрате.

1. Для автоматической станции значения даны в условии задачи, а для Луны - из справочника.
2. Опечатка. При расчетах я возводил в квадрат период.