Определить массу планеты (24 ноября 2011)

Звезда и планета обращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам. Рассчитайте массу планеты m, если известно, что масса звезды равна M. Радиус орбиты звезды и скорость ее движения равны соответственно R и v. Различием между радиусом орбиты планеты и расстоянием между планетой и звездой пренебречь.

Тренировочные задания ЕГЭ 2010.

Ответ должен получиться таким: 3√[(v2M2R) / G].

Комментарии

Пусть R1 — радиус орбиты, по которой вращается планета.

Поскольку планета и звезда вращаются вокруг общего центра масс, то расстояние между ними должно быть всегда одинаково и равно R + R1, но в последнем предложении сказано, что различием между радиусом орбиты планеты и расстоянием между планетой и звездой пренебречь, откуда следует, что расстояние между планетой и звездой равно R1.

Объясним допустимость данного упрощения: направим оси так, как показано на рисунке:

пояснение

и запишем уравнение для нахождения центра масс для оси oY. Как видно из рисунка, точка O находится на расстоянии R1 от начала координат и это будет координатой центра масс, ⇒

R1 = M (R + R1) / (M + m),

откуда получаем равенство:

MR = mR1,   или R1 = MR / m.

M/m — очень большое число, поэтому R1 >> R,

R можно пренебречь, когда будет идти речь о законе всемирного тяготения. Воспользовавшись им, можно записать следующее:

γmM / R12 = Mv2 / R,

γmR = v2R12.

Подставив вместо R1 выражение MR / m, получим искомый ответ.

Спасибо большое!

Только вот непонятен один момент, а именно "точка O находится на расстоянии R1 от начала координат и это будет координатой центра масс, ? R1 = M (R + R1) / (M + m) ". Не могли бы Вы пояснить?

В данном случае было сказано, что на некотором расстоянии от планеты R1 находится центр масс, и это расстояние постоянно. Звезда находится на расстоянии R от центра масс. Поскольку в выбранной системе отсчёта планета была выбрана нулевой точкой отсчёта, то, учитывая, что центр масс находится на расстоянии R1, и было записано следующее равенство. А выходит оно вот откуда: существует формула

xц.м = (m1x1 + m2x2+ ... + mixi) / (m1 + m2 + ... + mi),

где m — массы элементов системы (в данном случае звезда и планета), а xi — координата центра масс этого тела в выбранной системе отсчёта. Для данной системы формула будет иметь вид:

R1 = M (R + R1) / (M + m),

mx = 0, поскольку планета была выбрана началом отсчёта. Центр масс звезды находится на расстоянии R + R1 от начала координат.

Надоело разбираться?