В каком положении будет жидкость в пробирке? (10 октября 2011)

Цилиндрическая пробирка длины 4h, содержащая некоторое количество газа, погружается открытым концом до половины своей длины в жидкость с плотностью ρ. При этом оказывается, что поверхность жидкости внутри пробирки находится на расстоянии 3h от ее открытого конца. В каком положении будет находиться жидкость в пробирке при полном погружении последней? Температура во время опыта поддерживается постоянной, наружное давление равно p.

Взято из Конкурса абитуриентов 2009 года по решению задач вступительных испытаний МФТИ "Конкурс 62".

Я делал так. Учитывая закон Паскаля, получается, что p + ρгазаg4h = ρg3h + p.

Отсюда ρгаза = (3/4) ρ.

Также после погружения пробирки p + ρгазаg4h = ρg (4h − hн) + p,

где hн — искомая высота столба жидкости от открытого конца.

Получаем, что hн = h.

Правильно ли я решил? Подскажите, если нет.

Предложу вариант своего решения.

По закону Бойля - Мариотта для положения 1:

PS4h = P1Sh   ⇒   P1 = 4P.

По закону Бойля - Мариотта для положения 2:

P1Sh = (P + ρgx) Sx   ⇒   ρgx2 + Px − 4Ph = 0,

где x — длина части пробирки, заполненной газом.

Решая уравнение относительно x, получаем:

x = (−P + √(P2 + 16Pρgh)) / (2ρg).

Таким образом, высота столба жидкости в пробирке:

H = 4h − x = 4h - [√(P2 + 16Pρgh) − P] / (2ρg).

Мне не очень понятно второе уравнение: P1Sh = (P + ?gx) Sx.

? — здесь это чья плотность? газа или жидкости?

ρ — плотность жидкости.

Давление газа в колбе будет складываться из атмосферного давления P и гидростатического ρgx на глубине x, которая в то же время является длиной части пробирки, заполненной газом.

C одной стороны, все вроде нормально, а с другой — кажется, что что-то не то. Может, нас кто-нибудь третий рассудит?!
Для первого и второго случая:

p1S4h = p2Sh,

где p2 = p − ρgh.

Для первого и третьего случая:

p1S4h = p3Sx,

где p3 = p + ρgx.

После замены давлений p2 и p3, получим систему уравнений:

4p1 = p − ρgh,     (1)

4p1h = (p + ρgx) x.     (2)

Делая замену (1) в (2):

(p − ρgh) h = (p + ρgx) x.

Получим квадратное уравнение:

ρgx2 + px − (p − ρgh) h = 0.

Решайте полученное уравнение и находите корни, после этого l = 4h − x, получите расстояние от открытого конца трубки или x от запаянного конца.

В решении Smoke взято давление в трубке изначально за p, почему? Это вопрос к Smoke.

До введения в жидкость колбы газ в колбе находился под внешним давлением P.
Читаем условие: Цилиндрическая пробирка длины 4h, содержащая некоторое количество газа. Из чего следует, что газ в пробирке — воздух при атмосферном давлении? Как Вы прокомментируете фразу − некоторое количество газа?
Получается, вначале некоторое количество газа n занимало объем V = 4hS и находилось под давлением, отличным от атмосферного. Это давление обусловлено притяжением данного количества вещества газа к Земле. Недочет в том, что упростил себе задачу, посчитав газ воздухом.
Ваше решение верное для случая, если трубка открыта в атмосферу. Я не автор этой задачи, но мое мнение − в пробирке был газ при давлении, не равном атмосферному. Об этом говорит следующая часть задачи. Что будет, если трубку, в которой был атмосферный воздух, опускать в жидкость плотности ρ?
Объем газа будет уменьшаться, т.к. при опускании трубки гидростатическое давление, а, следовательно, и общее давление на газ будет увеличиваться.
(удалено автором)
Спасибо за обоснованное решение!
"При этом оказывается, что поверхность жидкости внутри пробирки находится на расстоянии 3h от ее открытого конца."
Получается, что газ находится в части пробирки, находящейся в воде?
Нет, мне кажется, что жидкость занимает часть пробирки от открытого конца до 3h, а газ, в свою очередь, занимает часть пробирки высотой h у закрытого конца (от закрытого конца и вниз высотой h).
Точно. Тогда почему P2 = P − ρgh?

Ведь под газом в пробирке — столб жидкости высотой 3h. Потому что столб жидкости высотой h над поверхностью воды?

мне кажется, да