При каком соотношении скоростей обруч покатится обратно? (26 июля 2011)

Мальчик бросает обруч радиусом R в горизонтальном направлении со скоростью v, одновременно сообщая ему вращение в обратную сторону с угловой скоростью w. При каком соотношении между заданными величинами обруч покатится обратно к мальчику?

Источник: учебник 10 класса по физике под редакцией А. А. Пинского, № 6.6*.

Я поменяю обозначения: пусть индекс 0 соответствует начальным значениям величин, а его отсутствие — конечным. Спасибо за понимание :)).


Для изменения импульса: −mv − mvo = Fтрt     (первый минус из-за того, что обруч катится назад).

Для изменения момента импульса: mR2ω − mR2ωo = FтрRt.

Решаем:

mRω − mRωo = Fтрt = −mv − mvo.

Rω − Rωo = −mv − mvo.

Проскальзывание прекратится: ω = v/R.

В итоге имеем:

v = (ωoR − vo) / 2.

Ответ: при ωo > vo/R.

Скорость центра колеса равна v, скорость любой точки колеса относительно центра также равна v. Скорость верхней точки колеса, относительно земли, равна 2v = v + v. Чтобы колесо перестало двигаться по направлению его броска, скорость верхней точки должна быть направлена в противоположную сторону. Представим себе, что колесо вращается с угловой скоростью w в обратном направлении. В пределе w = 2v / (2R) = v / R. В этом случае скорость верхней точки колеса относительно земли равна 0. Следовательно, если w > v/R, то колесо покатится в противоположную сторону первоначального движения. Здесь, конечно, учтено, что колесо не проскальзывает.
Спасибо за ответы!
Здравствуйте. Столкнулся с той же задачей в своем учебнике. Но у нас в ответах написано, что ?R < v. Как относится к этому ответу? Издание книги 2011.