Найти силу взаимодействия между пластинами конденсатора (17 июня 2011)

Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора равно d, а площадь одной пластины равна S. Первоначально конденсатор (разряженный) подсоединяется к источнику постоянного напряжения с ЭДС ? и внутренним сопротивлением r.
  1. Найти силу взаимодействия между пластинами конденсатора как функцию его заряда q.
  2. Найти количество теплоты выделившейся в соединительных проводах до полной зарядки конденсатора, если их сопротивление равно R = 2r.
  3. После полной зарядки конденсатор отсоединен от источника напряжения и его пластины удаляют до расстояния 2d. Найти работу, совершенную для этого удаления.
  4. Найти количество теплоты выделившейся в этом процессе (см. пункт 3).
  5. Конденсатор из пункта 3 (до удаления пластин) соединяют параллельно с другим идентичным, но разряженным конденсатором. Найти количество теплоты выделившейся в соединительных проводах.
  6. После зарядки, конденсатор остается соединенным к источнику ЭДС, а одна пластина движется параллельно другой пластине с постоянной скоростью v. Вычислить силу тока, показанную амперметром. Пластины конденсатора имеют форму квадрата.

Источник: республиканская олимпиада Республики Молдова по физике за 11 класс, март 2011 года.

Комментарии

  1. Поле, создаваемое пластиной, E = q / (2ε0S). Вторую пластину рассматриваем просто как тело с зарядом q в поле E. Сила F = qE = q2 / (2ε0S).

  2. Второй закон Кирхгофа для нашей схемы: q/C + I(2r) + Ir = E   (E — это ЭДС). Продифференцируем по времени: I/C + 3r (dI/dt) = 0. Это уравнение нетрудно решить, и с учётом начальных условий имеем: I(t) = (E/(3r)) e−t/(3rC). Теплота, рассеиваемая на проводах: Q = [интегрируем от 0 до ∞] = o∫I2(t)2rdt = CE2/2.

    Кстати, ответ такого рода часто встречается. Если бы мы, например, растягивали пружину неквазистатически, то только лишь половина работы ушла на приращение упругой энергии. Ну это так, лирическое отступление :)

Остальное допишу попозже.
1. Вы считаете, что заряд на конденсаторе появляется мгновенно? А как же момент зарядки?
Вы про пункт 1) ? Так там, вроде, и найдено, что просили. А заряд уже может быть функцией времени.
1. Если заряд функция времени q (t), то в уравнение должно входить t; в частном случае, когда конденсатор зарядится, будет Ваша конечная формула.
2. Закон сохранения энергии для данного случая: A = Wк + Qвыд,
где A — работа за процесс, Wк — энергия заряженного конденсатора, Qвыд — количество выделившейся теплоты.

Отсюда Qвыд = A − Wк.     (1)

Также Qвыд = Qвнеш + Qвнутр,
где Qвнеш — количество теплоты, выделившееся во внешней цепи, Qвнутр — количество теплоты, выделившееся внутри источника тока.

По закону Джоуля-Ленца: Qвнеш/Qвнутр = I2RΔt / (I2rΔt) = R/r = 2r/r = 2.

Отсюда Qвыд = 3Qвнеш / 2     (2).

Деля (1) на (2), получаем:

Qвнеш = 2 (A − Wк) / 3.

A = qU = CoU2 = CoE2,     Wк = CoE2/2.

Тогда Qвнеш = CoE2 / 3 = ?oSE2 / (3d).

В чем же ошибка?

Ну, давайте я допишу остальное, а потом обсудим. Я что-то тут сомневаюсь, особенно в пункте 4).
  1. Одна пластина действует на другую с силой F = q2 / (2εoS). Заряд равен q = CU = EεoS / d.   Работа A = Fd = E2εoS / (2d).
  2. А разве должна выделиться теплота?
  3. По закону сохранения энергии: Wo = W + Q.

    Q = Wo − W = CE2/2 − (CE)2/(4C) = CE2/4 = E2εoS / (4d).

  4. I = dq / dt. Одна пластина движется параллельно другой, т. е. наш конденсатор уменьшается в размерах.

    q = σS,

    dq = σdS = σ√(S) vdt,

    I = σ√(S) v,   где σ = qo / S = Eεo / d.

q (t) = ∫I(τ) dτ (интегрируем от 0 до t).
Smoke, прошу прощения, у Вас правильно, это у меня ошибка. Я где-то по невнимательности потерял тройку и написал двойку.

А аналогия вроде как правильная. Правда, только если мы рассматриваем всё выделившееся тепло: и во внешней цепи, и внутри источника.

4. По закону сохранения энергии: A = Qвыд + ΔWк,

где A — работа по перемещению пластин, Qвыд — количество выделившейся теплоты, ΔWк — изменение энергии конденсатора.

После перемещения пластин электроемкость конденсатора стала C = ?oS / (2d) = Co / 2.

Тогда изменение энергии конденсатора ΔW = W − Wo = q2/(2C) − q2/(2Co) = q2/Co − q2/(2Co) = q2 / (2Co) = q2d / (2?oS).

Учитывая результат пункта 3, ΔW = A   ⇒   Qвыд = A − ΔW = 0.

У меня получилось так же.
Надоело разбираться?