Определите силу натяжения резинового кольца (29 января 2008)

рисунокИз тонкого резинового шнура длиной Lo и массой m изготовлено кольцо. Его надели на гладкий конус с углом при вершине. Определите силу натяжения, возникающую в кольце. Площадь поперечного сечения шнура S и модуль Юнга для резины E считать известными.

Задача взята из контрольных работ подготовительного курса учебного центра "Ориентир". Примерный рисунок нарисован в Paint.

Комментарии

Подсказка: выберем малый элемент шнура, видимый под малым углом β с центра окружности, которую описывает шнур. Расставим силы, действующие на малый элемент: сила тяжести, сила упругости шнура, сила реакции опоры поверхности конуса. Так как ситуация статичная, то выполнится условие равенства нулю векторной суммы приложенных сил к элементу. Выберем оси координат: ось OX направим по радиусу окружности шнура, ось OY перпендикулярно. Далее найдите проекции силы на выбранные направления. Вам понадобится уравнение, связывающее радиус с длиной дуги малого элемента, и понятие, например, линейной плотности массы шнура. Решая полученные уравнения совместно, придете к искомому результату.

Примечание: синус малого угла равен самому углу, выраженному в радианах, учтите изменение длины шнура при деформации.

Этот метод решения уже рассматривался, он не работает в данном случае. Согласитесь, он нестандартный для этой задачи. Я точно не помню в чём там загвоздка, но в скором времени попробую выложить решение.(вроде бы кол-во неизвестных не совпадает с кол-вом уравнений).
Решил задачу, используя свои подсказки, получил конечную формулу, в которой используются все данные задачи. Если не получится решить, сообщите, я выложу свое решение.

Примечание. По ходу решения возникает уменьшение площади поперечного сечения жгута, при его удлинении, что отражается на жесткости, если этим эффектом пренебречь, то проблем не возникает (считать что k = ES/lo). Если учитывать изменение жесткости, то решение усложняется, но все же выход на конечную формулу есть.

Внимательно рассмотрю Ваше решение. Спасибо.

Хорошо. Выберем малый элемент шнура, почти точку или малый шар. На него действует вертикально вниз сила тяжести mg, от него к центру окружности направлена сила упругости (правильно понимаю?), а сила реакции опоры, т.е. конуса, направлена от шара перпендикулярно поверхности конуса (верно?) — наружу.

Тогда в проекции на ось X:
Fупр − Nsin (2α) = 0;
ось Y:
Ncos (2α) − mg = 0.

Выражаем отсюда силу упругости, получается Fупр = mg*tg (2α).
Если брали один элемент, находящийся в единице длины, то логично предположить, что сила упругости для всего шнура, т.е. для всех "элементов" равна:

FупрL = Fупр.общ. (в дальнейшем просто Fоб.). <з>Эта же Fоб = k(L − L0) = ES(L − L0)/L0.

Итак, 2 уравнения, 2 неизвестных (L и Fоб.). Решая систему, получаем конечный ответ:

F = mgSE*tg(2α)L0 / (SE − mg*tg(2α)L0)

Жду ваших замечаний. Огромное спасибо за помощь.

P.S. кстати, еще есть рисунок новый, но я что-то опять не могу найти кнопочки "добавить файл".

Отредактировано afportal 6.02.08.
Добавлять рисунки (не любые файлы) можно при размещении задачи. В остальных случаях присылайте рисунки мне. E-mail указан в блоке "Помощь по HTML", который виден в левой колонке под ссылками при добавлении и редактировании комментариев.

рисунок 1 Выберем малый элемент шнура. На него действует вертикально вниз сила тяжести Δmg, от него к центру окружности направлена результирующая сила упругости, а сила реакции опоры, т.е. боковой поверхности конуса направлена от элемента шнура перпендикулярно поверхности конуса.

Тогда в проекции на ось X, направленную к центру окружности шнура, будет:

Fупр х − N×cos α = 0,

в проекции на ось Y:

N × sin α − Δmg = 0.

Выражаем отсюда силу упругости, получается:

Fупр х = mg/tg α.

рисунок 2Учтем, что Fупр х = 2T × sin (β/2) = T × β (в силу малости угла β )

Тогда T × β = Δmg/tg α.     (1)

Используя связь радиуса и длины дуги R × β = Δl, выразим β и заменим в уравнении (1).

У нас появился радиус окружности жгута, он связан соотношением:

lo + Δx = 2πR.

И еще, kΔx = Tlo/(ES) , и Δm/Δl = m/lo — линейная плотность жгута.

Если теперь все собрать и перегруппировать относительно искомой T, получим:

T = mg/(2πEStg α − mg).

Надоело разбираться?