Какова будет скорость камня? (4 февраля 2011)

Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v = vo. Через какое время t1 после начала бросания камень достигнет высоты h ? Какова будет скорость v1 в этот момент времени? Через какое время t2 и с какой скоростью v2 камень пролетит на той же высоте второй раз?

Город Ижевск, шк. 35, 11 РТ (робототехнический) класс.

Вот как я понимаю: тело до высоты h летело по закону h = 0 + vot.
Это я так подумала, потому что камень движется равномерно. А вот что дальше, не пойму.
Карабаргара, разве камень движется равномерно? А как же ускорение свободного падения?
Не знаю тогда как. В смысле, он движется под действием каких-то сил тогда??
Я думаю, что на камень будет действовать сила тяжести. А Вы как считаете?
да, точно! теперь вот как, значит, решать:

v = vo + at   — это с такой скоростью он будет на высоте h.

h = vot − gt2/2   — это найти высоту и все это решать в системе. Правильно я понимаю??

а это равномерное движение ведь???
и вот еще вопрос. Я решила эту систему и нашла скорость и время. Вторую часть задачи решать по такому же принципу??
Короче, t1 найдем из формулы h = vt1 − gt12/2.

Видно, что t1 выйдет из дискриминанты. Скорость v1 найдем с помощью энергии:

mv2/2 = mgh + mv2/2.

Из этой формулы находим v1.

t2 найдем из формулы t = 2v/g. И найденное v1 равно v2.

Задача решена правильно, но без пояснений...

Так как камень достигнет определенной высоты, где он остановится, то он непременно начнет падать, и его скорость будет вычисляться по формуле v2 = gt,

тогда:

mgh + mv12/2 = mgh + mv22/2,

но так как v2 = gt2, то:

mgh + mv12/2 = mgh + m (gt2)2/2.

По этим формулам можно найти и t2, и v2... И в действительности окажется, что v1 = v2.

Я нашёл t2 по-другому.

Введём дополнительные t3 и t4, где t3 — это время, за которое тело прошло путь от определённой высоты h до верхней точки (тормозя), и t4 — это время, за которое тело прошлое путь от верхней точки до этой же h (уже падая).

Значит, справедливо h = v1t3 / 2 = v2t4 /2 (так как конечная скорость равна нулю) ⇒ t3 = t4.

Но в то же время h = v12 / (2g)   ⇒   t3 = v1/g   (можно и h = v22 / (2g), тогда t4 = v2/g).

Значит, t2 = t1 + 2t3 = [vo ± √ (vo2 − 2hg)]/g + (2v1)/g.

Поясню, как нашёл t1.

По условию, h = vot1 − (gt12) / 2.

Решаем квадратное уравнение, приведя его к виду ax2 + bx + c = 0.

Получаем (g/2) t12 − vot1 + h = 0.

Дискриминант (можно и по теореме Виета) D = b2 − 4ac (можно и через k, где k = b/2, но это удобно, если b — чётное (D = k2 − ac)).

D = vo2 − 2hg.

Значит, корни x = (b ± √D) / (2a) = [b ± √(b2 − 4ac)] / (2a). (Если через k, то x = [b ± √(k2 − ac)] / a).

А у нас t1 = (vo ± √(vo2 − 2hg)) / g.

Теперь откуда нашёл v1.

Можно сказать, что v1 = vo − gt1 = vo − g (vo ± √(vo2 − 2hg) / g.

Хотя h = (v12 − vo2) / (−2g (v1vo)), то −2g, к тому же, при проецировании минус, да и ускорение направлено вниз)   ⇒   v1 = √(vo2 − 2gh). Конечно, по ЗСЭ докажем, что v1 = v2. То есть mgh + (mv12) / 2 = mgh + (mv22)/2   ⇒   v1 = v2.