Чему равно натяжение веревки? (18 октября 2010)

рисунок к задачеЛодку массой m подтягивают к берегу за верёвку так, как показано на рисунке. Берег выше уровня воды на величину h. При этом горизонтальный участок верёвки движется равномерно со скоростью v, а на лодку действует со стороны воды сила сопротивления, пропорциональная скорости лодки: F = −yu. В некоторый момент верёвка образует угол α с горизонтом. Найдите силу натяжения верёвки в этот момент. Массой верёвки и трением в блоке пренебречь.

Задача № 2 десятого класса второго тура московской олимпиады школьников по физике 2008-2009.

Комментарии

Когда угол будет равен α, скорость будет равна v/cos α (надо рассмотреть малые приращения).

Cоответственно, сила сопротивления будет равна kv / cos α. В течение малого промежутка времени dt скорость будет постоянной (т.к. мало изменяется угол α), сила сопротивления, соответственно, тоже, а лодка будет двигаться равномерно. Значит, в рассматриваемый момент времени сумма сил на горизонтальную ось Ох равна нулю. Откуда получаем, что T = kv / cos2 α.

Не согласен. Здесь все не так просто.

Натяжение веревки будет определять не только сила сопротивления, но и сила инерции.

Предлагаю разложить скорость на две составляющие: вдоль веревки и перпендикулярно к ней.

Второй вариант решения дает довольно массивный ответ. Если будет время, выложу это решение.
Когда угол будет равен ?, скорость будет равна v/cos ? (надо рассмотреть малые приращения)

где здесь геометрия?

Ответ: mv2 (tg3 α) / (h cos α) + γv / cos2 α.

Но как к нему прийти — я не знаю. Хотелось бы услышать подсказку решения.

Значит, и второе мое решение неверно. Я пока с силами инерции близко не знаком. Где-то через месяц только проходить будем.
Лодка будет двигаться с центростремительным ускорением, и натяжение веревки:

maц = T(α) − Fc / cos α,

уравнение получено в проекции на направление веревки.

где aц = v2/R,     Fc = −γvx.

v = v tg α — скорость направленная перпендикулярно веревке,

vx = v / cos α — направлена по направлению движения лодки.

Радиус вращения зависит от угла и равен:

R = h / sin α.

Выражаем искомую силу натяжения в веревки от угла:

T(α) = m (v tg α)2 / (h/sin α) + γv / cos2 α,

или

T(α) = mv2 (tg2 α) (sin α) / h + γv / cos2 α.

Окончательно:

T(α) = mv2 (tg3 α) (cos α) / h + γv / cos2 α.

Интересно, чем ответ "T(α) = mv2 (tg3 α) (cos α) / h + γv / cos2 α" является более упрощенным, чем "T(α) = mv2 (tg2 α) (sin α) / h + γv / cos2 α" ? А ведь на олимпиаде за неприведение ответа к первому сняли бы баллы.
нет, не сняли бы! Главное, если задать значения, чтоб ответы были одинаковыми
Когда мы проецируем силу сопротивления воды на ось, совпадающую с направлением веревки, почему получается Fc / cos α? Не должно ли быть Fc cos α?
Почему Fc/cos ?, почему нет Fc cos ? ?
Сила сопротивления со стороны воды состоит из двух: сопротивления трения и сопротивления давления. То есть при проекции Fcx= Fc / cos α.
Надоело разбираться?