Под каким углом установятся нити, образующие ромб? (10 октября 2010)

Под каким углом установятся нити, образующие ромб, если в его вершины поместить четыре заряда: q, q, q и 2q ? Дать ответ при вершине с большим зарядом.

Источник: Электричество, магнетизм, оптика: сборник задач; Спб 2002. Авторы: Коваленко И. И., Лавровская Н. П., Литвинова Н. Н. и др. Стр. 7.

Комментарии

Понятно: чтобы найти угол, надо найти расстояние между зарядами (оно же сторона ромба). И судя по всему, находить его надо из формулы закона Кулона. Но как это сделать, если известны только заряды, ума не приложу.
Сделайте рисунок, расставьте силы. Не забудьте про силу натяжения нити. Составляйте уравнения равновесия для зарядов. Будут неизвестные: углы, расстояния, сила натяжения, для их связи воспользуйтесь геометрией рисунка.
Спасибо!
random, если Вы решили задачу, то разместите хотя бы конечную формулу и ответ.
afportal, к сожалению, у меня пока нет времени. Но оно появится на днях. Как только решу — отпишусь.
По идее, заряды же будут притягиваться?
Ваша идея (!) явно претендует на оригинальность: одноименные заряды отталкиваются (или притягиваются?). Вы нас путаете?
Извиняюсь, был не прав! Не понял, что заряды одноименные! А что за уравнение равновесия зарядов? как я понял, что-то должно принимать постоянное значение! Не судите строго! учусь в 8 классе!
В. Грабцевич, силы взаимодействия зарядов только между соседними зарядами или между всеми? Сила натяжения нити по 3-му закону Ньютона масса на силу тяжести (если на Земле) — берем массу электрона (ведь у нас заряды)? И сила тяжести g или нет? Не ясно.
Мне кажется, что сила натяжений нитей из 3-го закона Ньютона равна по модулю силе отталкивания зарядов!
Правильно, пожалуй, что так.
Но если так, то когда мы будем составлять уравнения равновесия зарядов, у нас получится, что сила натяжения (она же сила отталкивания) равна силе взаимодействия зарядов (она же сила их отталкивания (!)).
рисунок к задаче

В общем, вот что получилось: проводим из вершины 2q диагональ длины х. Тогда угол между а и х найдём как α = arccos (0,5х/а).     (1)

Далее составляем по закону Кулона уравнение:

F12 + F13 = F14   ⇒   2/а2 = 1/х2.

Решаем пропорцию и находим а:

а = x√2.     (2)

(2) ⇒ (1).

α = arccos (1 / (2√2)).

Теперь, чтобы найти весь угол, домножим α на 2:

β = 2α = 76.54°.

А где силы реакции нитей и силы взаимодействия между вторым и третьим зарядом, также вторым и четвёртым и т.д.?
Ответ:

tg3 α = 1/2.
tg α = 0,7937.
α = 38,4°.

Угол раствора нитей 2α = 76,8°.

Random, Вам нужно решение?

Поскольку требуется найти угол, единицу измерения силы можно выбрать произвольно, за такую единицу я приняла kq2/a2, где a — длина стороны ромба. Используется симметрия сил относительно вертикальной оси, если заряд 2q поместить в наивысшей вершине ромба. Сначала рассматривается равновесие сил в точке с зарядом 2q и в противоположной вершине ромба. Это даёт возможность определить силы натяжения нитей у заряда 2q:

T2 = (8cos3 (α) + 1) / (4cos3 α),   угол между силами .

Для заряда q, противоположного заряду 2q, силы натяжения нитей:

T1 = (4cos3(α) + 1) / (4cos3 α).

Затем надо рассмотреть равновесиле сил, действующих на один из боковых зарядов q, и получаю уравнение:

tg3 α = 0,5.

Чертёж по отношению к Вашему повёрнут на 90°.

Random, если надо, я могу привести полное решение.

spaits, помогите, пожалуйста, с моей задачей, не решить никак...
Уважаемый daranton, у меня нет приспособлений, чтобы ввести чертёж. Поверните чертёж random на 90° так, чтобы заряд 2q был наверху, и угол между сторонами ромба был острый (таков ответ, но Вы заранее не можете знать, поэтому на чертеже угол может быть и тупым), а сторону ромба возьмите побольше, чтобы было удобнее изобразить силы. Угол α — половина угла между нитями у заряда 2q. Силы натяжения нитей random совсем не показал, а между тем они удерживают отталкивающиеся одноимённые заряды.

На каждый заряд действует пять сил: силы отталкивания со стороны трёх остальных зарядов и силы натяжения двух нитей. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам, диагональ ромба — ось его симметрии. Если заряд 2q разместить наверху, то вертикальная диагональ будет не только осью симметрии ромба, но и осью симметрии для зарядов, а, значит, и для сил. Поэтому будут симметричны (равны по модулю и направлены под одинаковыми углами) и силы натяжения нитей Т2. Их равнодействующая (обозначим равнодействующую как Т2R) направлена по диагонали ромба вертикально вниз. Равны и модули сил натяжения нитей T1, действующие на заряд q, расположенный на нижней вершине ромба, их равнодействующая (обозначим её как T1R) направлена вертикально вверх.

На каждый из боковых зарядов q действуют разные силы натяжения нитей: наклонно вверх сила с модулем Т2, наклонно вниз — сила с модулем Т1, разные по величине, поэтому их равнодействующая не будет направлена по диагонали. Пусть ось х направлена вправо по горизонтальной диагонали ромба, ось у — вверх по вертикальной диагонали ромба. Сторону ромба обозначу как а.

Модуль силы взаимодействия верхнего заряда 2q с боковым зарядом q равен:

F2 = k • 2q2 / a2.

Поскольку надо определить угол, единицу измерения силы можно выбрать произвольно. Я выберу условную единицу силы, равную kq2/a2. Тогда F2 = 2 условных единиц.

На нижний заряд q действуют две равные по модулю силы отталкивания боковыми зарядами F1 = 1 (условных единиц, но в дальнейшем единицы я не пишу), а также сила отталкивания верхним зарядом: F3 = 2 / (2cos α)2 = 1 / (2cos2 α) и силы натяжения двух нитей, по модулю равные Т1 и действующие под углом . Чертёж Вам придётся начертить самому.

Итак, на нижний заряд действуют две равные по модулю F1 = 1 силы притяжения боковыми зарядами, их равнодействующая R1 = 2F1cos α = 2cos α и направлена вертикально вниз.

Равнодействующая двух сил натяжения нитей Т1 направлена вертикально вверх, обозначу её модуль как Т1R, при этом:

T1R = R1 + F3 = 2cos α + 1 / (2cos2 α) = (4cos3(α) + 1) /(2cos2 α).

Отсюда из параллелограмма сил нахожу модуль силы натяжения нити:

T1 = T1R / (2cos α) = (8cos3 (α) + 1) / (4cos3 α).

Аналогично, рассматривая равновесие сил, действующих на верхний заряд 2q, нахожу силу натяжения верхних нитей:

T2 = (8cos3 (α) + 1) / (4cos3 α).

Осталось рассмотреть равновесие сил, действующих на один из боковых зарядов, например, левый. Нахожу проекции сил на ось х (равенство нулю суммы проекций на ось у даёт тождество). Модуль силы отталкивания между боковыми зарядами обозначу как T4. Расстояние между боковыми зарядами равно 2a • sin α. Тогда в принятых условных единицах модуль силы F4 = 1 / (4sin2 α).

Найду проекции сил на ось х с учётом направления сил. Проекции сил F1, F2, F4 отрицательны, проекции T1 и T2 — отрицательны. Найду эти проекции.

T1x = T1 sin α = (8cos3 (α) + 1) (sin α) / (2cos3 α).

T2x = T2 sin α = (8cos3 (α) + 1) (sin α) / (2cos3 α).

F1x = −F1 sin α = −sin α,

F2x = −F2 sin α = −2sin α,

F4x = −F4 = −1 / (4sin2 α).

Приравнивая нулю сумму проекций сил на на ось х, получаю уравнение:

(sin α (12cos3 (α) + 2) / (4cos2 α) = 3sin α + 1/(4sin2 α).

После приведения к общему знаменателю:

(12sin3 (α) + 1) cos3 α = (12cos3 (α) + 2) sin3 α.

После сокращения:

cos3 α = 2sin3 α.

tg3 α = 1/2.
tg α = 0,7937.
α = 38,4° .

Угол раствора нитей при заряде 2q в два раза больше:

2α = 76,8°.

Спасибо, Spaits, я понял свою ошибку. Я торопился и правда не учел силы натяжения нитей.
У меня ошибка, надо:

T1x = T1 sin α = (4cos3α + 1) (sin α) / (2cos3 α).

Вместо 8 надо 4;   4 + 8 = 12.

Ошибка при переписывании. Все дальнейшие вычисления верные.

Надоело разбираться?