Каково время падения шарика до удара о плиту? (17 сентября 2010)

С высоты H = 30 м свободно падает стальной шарик. При падении он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом 30 градусов к горизонту, и взлетает на высоту h = 15 м над поверхностью Земли. Каково время падения шарика до удара о плиту? Удар шарика считать абсолютно упругим.

Задача из тренировочного сборника по ЕГЭ.

Не могу себе четко представить движение шарика. Возможно, условие некорректное или здесь записано неправильно.

30 м — это высота падения шарика до места соударения с неподвижной плитой? А 15 м — высота подъема шарика после соударения с плитой относительно места соударения? К задаче не было рисунка?

Рисунка не было, но есть угол 30°, модуль скорости, а, соответственно, её квадрат не изменится. Изменится только направление движения.
Предлагаю, для разнообразия, решать задачу в системе отсчета "лифт".

После отскока шарик будет двигаться с постоянной скоростью, равной v = √{2gH}, под углом α к перпендикуляру, воcстановленному в точку падения шарика, равному углу наклонной плоскости 30°.

Наклонная плоскость будет двигаться вверх с ускорением свободного падения g.

Столкновение произойдет в точке второго падения шарика на плоскость.

Из равностороннего треугольника: vt = gt2 / 2

находим время падения шарика второй раз на плоскость:

t = 2v/g = 2√{2gH} / g = 2√{2 × 10 × 30} / 10 = 4,9 c.

Дальность полета вдоль наклонной плоскости:

S = vt = 2v2 / g = 2 • 2gH / g = 4H.

Причем можно определить и максимальную высоту от плоскости.

Если мы понимаем высоту отскока, отсчитанную от точки падения мяча, то из закона сохранения энергии:

mv2/2 = mvy2/2 + mvx2/2

найдем горизонтальную скорость:

vx = √{2g (H − h)}.

Тогда:

tg α = gt2/2 / (vxt) = gt2 / (2√{2g (H − h)} t),

откуда искомое время падения на плоскость после отскока:

t = 2√{2g (H − h)} (tg α) / g.

t = 2√{2 × 10 × (30 − 15)} • (tg 30°) / 10 = 2 (c).