Какой объем воды следует налить в сосуд? (6 июня 2010)

На дне вертикального цилиндрического сосуда радиусом R = 10 см лежит шар радиусом r = 5 см. Плотность материала шара в два раза меньше, чем плотность воды. Какой объем воды следует налить в сосуд, чтобы шар перестал оказывать давление на дно сосуда?

Задача № 2 городской олимпиады по физике 2005 года в Бобруйске за 10-й класс.

Решение слишком длинно, да и вообще задача больше похожа на математическую. Возможно, я неправильно рассуждал. Прошу указать мне на ошибки.

Решение.

Обозначим через ρo плотность воды, а через ρ — плотность материала шара.

Когда шар не оказывает давление на дно сосуда, выполняется следующее равенство:

P = Po − FА,

где P — сила давления; Po — вес шара в воздухе; FА — выталкивающая сила.

Отсюда следует:

Po = FА.     (1)

Но

P0 = (4/3) ρg?r3,     (1.1)

где ? — число "пи".

FА = ?ogV,     (1.2)

где V — объём погружённой в жидкость части шара.

С учётом этого равенство (1) примет вид:

(4/3) ρg?r3 = ρogV,

откуда:

V = 4??r3 / (3?o).     (2)

Обозначим объём жидкости, который нужно налить в цилиндр для выполнения оговоренных в задаче условий, через ΔV, а высоту столба жидкости, установившегося после добавления данного объема в цилиндр с шаром внутри, через h. Тогда

?V = Vh — V,

где Vh — объём части цилиндра, заключённой между основанием и уровнем воды h:

Vh = Sh = ?R2h.

С учётом этого и (2) получим:

?V = ?R2h — 4??r3 / (3?o).     (3)

рисунок к задаче

Введём систему координат как показано на рисунке.

Объём погружённой части шара V можно выразить так:

V = y? − r sdy = y? − r ? (r2 − y2) dy

(запись y? − r означает определённый интеграл на отрезке [−r; y])

V = ? (r2y − y3/3) y| − r = ? (r2−y3/3 + (2/3) r3),

где

y = −r + h.     (4)

Имеем систему:

{ V = 4??r3 / (3?o),

{ V = ? (r2 − y3/3 + (2/3) r3),

отсюда:

−(1/3) y3 + r2y + (2/3) r3 − 4?r3/(3?o) = 0.

Пусть a = −1/3; b = r2; c = (2/3) r3 − 4?r3 / (3?o). Тогда:

ay3 + by + c = 0.

Приведём это уравнение к виду:

y3 + py + q = 0.

Для этого поделим обе части уравнения на a. Получим:

y3 + (b/a) y + c/a = 0,

При этом:

b/a = p = −3r2;

c/a = q = 2r3 (2?/?o − 1).

Воспользуемся формулой Кардано:

y = 3 √(−q/2 + ?(q2/4 + p3/27)) + 3?(−q/2 − ?(q2/4 + p3/27)).

После подстановки сюда значений коэффициентов p и q и некоторых математических преобразований найдём:

y = r (3?(1 − 2 ?/?0 + 2?(?/?o (?/?o − 1))) + 3?(2?/?o − 1 + 2?(?/?o (?/?o − 1))) ).     (6)

Из (4) следует, что:

h = r + y.

Теперь равенство (3) примет вид:

?V = ?R2 (r + y) − 4??r3/(3?0).

С учётом (6) получим окончательную формулу:

?V = ?R2r (1 + 3?(1 − 2 ?/?o + 2?(?/?o (?/?o − 1))) + 3?(2 ?/?o − 1 + 2?(?/?o (?/?o − 1))) ) − 4??r3/(3?o),

причём r ? R по условию; ? ? ?o из интуитивных соображений.

При ? = (1/2) ?o получим y = 0, тогда:

?V = ?R2r − (2/3) ?r3.

После подстановки сюда значений R = 10 см и r=5 см найдём ?V = 1309 см3.

Напишу своё решение.

На шарик действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила реакции опоры. Если шарик не оказывает давления на дно, то тогда сила реакции опоры равна нулю.

Получается:

Fа = mg,

ρogVH = ρgV,

где:

ρo — плотность воды,

VH — объём шарового слоя, образованного пересечением шара и полупространства, ограниченного плоскостями поверхностей воды и дна сосуда,

ρ — плотность материала шара,

V — объём шара.

ρoπH2 (r − H/3) = ρ4πr3/3,

2H2 (r − H/3)= 4r3/3,

H2 (r − H/3)= 2r3/3,

−H3/3 + H2r − 2r3/3.

Это кубическое уравнение. Его решение можно упростить, подставив числа. Запомним, что у нас всё измеряется в сантиметрах. После всех преобразований имеем:

15 H2 − H3 − 250 = 0.

Первый корень можно найти, используя теорему о рациональных корнях уравнения. Он будет равен 5 (см). Найдя его, переходим к квадратному уравнению:

H2 − 10 H − 50 = 0.

Получим ещё два корня: 5 + 5√3 (см) и 5 − 5√3 (см) (физического смысла не имеет).

Соответствующие объёмы воды ищем как

V* = πR2H − πH2 (r − H/3).

V*1 ≈ 1309 см3;   V*2 ≈ 2337 см3.

Следует отметить, что при других значениях объёма шарик либо будет давить на дно сосуда, либо будет двигаться с ускорением, действуя по III закону Ньютона силой на воду, которая будет оказывать давление на дно.

Если где ошибся, поправьте, пожалуйста.


aa-112, я у Вас заметил одну ошибочку. Решая кубическое уравнение (y3 + py + q = 0) методом Кардано, Вы не учли, что кубические корни из действительных чисел дают три значения: одно действительное и два комплексных. Из них надо выбрать те, что в произведении дают −p/3. Их cуммы и дадут три корня.

Можете ознакомиться с авторским решением. Все гениальное − просто!
Спасибо.
Кстати, у меня в решении была ошибка: второй корень не подходит, т.к. высота сегмента будет больше диаметра.
В. Грабцевич, Ваше решение очень сильное! Я сначала прочитал решение автора, потом второй комментарий, но Ваш хорош!