Найти угловую скорость трубки с газом (3 июня 2010)

Горизонтальная трубка длины L и площадью сечения S, закрытая с одного конца, вращается с угловой скоростью w вокруг оси, перпендикулярной трубе и проходящей через ее открытый конец. Давление окружающего воздуха Po. Давление газа в трубе вблизи закрытого конца равно P. Сила добавочного давления на дно трубы F. Температура газа T. Найти w (с−1).

Газ CH4. L = 2 (м), Po = 0,1 (МПа), T = 300 (K), S = 0,01 (м2), F = 0.32 (H).

Задача из сборника задач по физике за 1 семестр эпи МИСиС, Г. А. Супрун и К. А. Мишин.

Рассмотрим элемент длины трубки. Для находящегося в нём метана можно записать:

dp = ρaинdL,     (1)

где:

dp   — приращение давления на слои, располагающиеся ближе к закрытому концу;
aин = ω2r   — центробежное ускорение.

Плотность находим из уравнения Менделеева-Клапейрона:

ρ = pM / (RT).

Подставляем всё в (1) и решаем это несложное дифференциальное уравнение:

ln P = Mω2L2 / (2RT) + ln Po,

ln [(F/S + Po)/Po] = Mω2L2 / (2RT).

Осталось выразить ω.

Огромное спасибо... Премного благодарен..
AssemblerIA64, подскажите. Формула dp = ρaинdL говорит о том, как возрастает давление в зависимости от длины трубки? Где эта формула выводится? Пожалуйста, подскажите!
Эта формула следует из условия равновесия всех слоёв газа. Она похожа на формулу гидростатического давления. Но здесь мы её напрямую использовать не можем, потому что газы, в отличие от жидкостей, сжимаются гораздо лучше. Поэтому и рассматриваем бесконечно малые элементы длины.
cпасибо огромное! и еще Вы пишете dL потому, что давление разное по всей длине!