Найти КПД цикла (25 мая 2010)

рисунок к задачеИдеальный двухатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор, причём наибольшая температура газа 500 К, а наименьшая — 300 К, наибольший объём 12 л, а наименьший — 3 л. Найдите КПД.

Дана преподавателем для защиты КР.

Я так понимаю, что на отрезке 1-2 А = 0 и ΔU = Q.

На участке 2-3: A = Q, 3-4: A = 0 и ΔU = Q, но т.к. температура падает, то Q убывает.

4-1: A = Q.

Т.к. η = А/Q1 и количество теплоты увеличивается на 2-3, то η равен 2-3 + А4-1) / Q2-3.

Не могу понять, как выразить эти величины без значений давления, помогите, пожалуйста.

Комментарии

1. Работа численно равна площади цикла 1-2-3-4-1. Для этого находите работу перехода 2-3 и вычитаете работу на переходе 4-1. Как найти работу? − через натуральный логарифм.

2. Теплоту газ получает на переходе 1-2-3. Она равна сумме теплоты на 1-2 и 2-3.

3. Отношение найденной работы (п. 1) к теплоте (п. 2) и есть КПД цикла.

4. Ваш ход.

Как найти работу "через натуральный логарифм"? А как искать ее через логарифм?

Полная работа — это сумма элементарных работ.
A = [интегрируем от V1 до V2] = ∫p dV.

Для изотермического процесса:
A = ∫(νRT/V) dV = νRT ln (V2/V1).

спасибо большое!

это работа для одного процесса или они объединены (у нас же 2 графика)?

Для одного.
AssemblerIA64, спасибо большое!
Доброго времени суток, и большое спасибо всем ответившим. Извините, что долго не отвечал, не было возможности. Теперь мой ход: находим работу на участке 2-3:

А2-3 = vRT1 ln (V2/V1),
где v — молярный объём, v = 22,4;
R — газовая постоянная,
R = 8,31;
ln (0,012/0,003) = ln 4 = 1,4.

В числовых значения получим:

22,4 × 8,31 × 500 × 1,4 = 1,3 × 105,

так же A2-3 = Q2-3,

находим работу на участке 4-1:

А4-1 = vRT2 ln (V1/V2),

ln (0,003/0,012) = −1,4, в числовых значения получим:

22,4 × 8,31 × 300 (−1,4) = −7,8 × 104.

Осталось найти Q1-2, там она равна ΔU:

ΔU = (i/2) vRΔT,

где i — число степеней свободы молекулы газа (двухатомный газ i = 5),

ΔT = (T1 − T2).

В числах:

2,5 × 22,4 × 8,31 × 200 = 9,3 × 104,

в итоге η = A/Q,

A = (1,3 × 105 − (−7,8 × 104)) / (9,3 × 104 + 1,3 × 105) = 0,93 × 100% = 93%,

КПД = 93%.

Прокомментируйте, пожалуйста, правильность решения.

Я почти уверен, что правильно, меня смущает ΔT: наверное, всё таки оно равно не T12, а T2 − T1, считал с учётом того, что на участке 1-2 температура растёт, значит, ΔT положительное.

в последней формуле, наверное, не А, а КПД.
AssemblerIA64, подскажите, пожалуйста, насчет A = ?(?RT/V) dV = ?RT ln (V2/V1).

Что в данном случае ? — количество вещества? и как его найти?

Разве количество вещества, а не молярный объём? Объём/молярный объём = количество вещества, для газа молярный объём постоянен вроде. Блин, неправильно посчитал. Сейчас исправлю и выложу, Dzaurov, спасибо!
На участках 2-3 и 4-1 объём изменяется, как найти количество вещества?
А кто будет решать задачу в общем виде? Не первый класс поди! А в общем виде количество вещества и сократится. Вот так!
Точно! Спасибо вам!

Значит, так:

А2-3 = vRT1 ln (V2/V1) = Q2-3,

А4-1 = vRT2 ln (V1/V2),

Q1-2 = ΔU = (i/2) vRΔT = ΔU = (i/2) vR (T1 − T2).

В общем виде:

η = (vRT1 ln (V2/V1) − vRT2 ln (V1/V2)) / (vRT1 ln (V2/V1) + (i/2) vR (T1 − T2)).

Выносим за скобки vR, получим:

vR (T1 ln (V2/V1) − T2 ln (V1/V2)) / (vR (T1 ln (V2/V1) + (i/2) (T1 − T2)).

vR сократится, у меня результат 3.3.

Разве может быть КПД больше 1 ?

Вопросик в помощь:

есть ли разница между ln (V1/V2) и ln (V2/V1) ?

только в знаке!
Прошу shafl проверить расстановку скобок в комментарии от Май 28, 16:19 и при необходимости исправить. Знаменатель должен быть целиком в скобках.
Извините, не успел отредактировать, теперь нет ссылки "изменить".

Окончательное решение:

А2-3 = vRT1 ln (V2/V1) = −А4-1.

Q1-2 = Cv (T1 − T2) = −Q3-4.

Q1 = Cv (T1 − T2) + vRT2 ln (V2/V1),

Q2 = Cv (T1 − T2) + vRT1 ln (V2/V1).

η = (Q1 − Q2) / Q1,

подставив значения, сократим vR и получим 0,232.

Вам, shafl, не хватает аккуратности в решении задачи.

|A23| ≠ |A41|.

A23 = νRT1 ln (V2/V1),   a   A41 = νRT2 ln (V1/V2).

Как, по-вашему, равны численные значения работ? Ваша первая строчка.

Смотрю на строчку 1 и беру за T1 = 500 K. Теперь смотрим третью строчку, формула для Q1. Работа находится через температуру T2, теперь вопрос возникает сам собой. Так где какая температура?

Или Вы сознательно всех запутываете, или я ошибаюсь, в чем? Поправьте.

Вы абсолютно правы, 2-3| ? |А4-1|, я неправильно указал формулы (ввиду неудобного способа ввода последних, ну и собственной безалаберности), конечно.

А4-1 = ?RT1 ln (V1/V2) = −?RT1 ln (V2/V1),

А2-3 = ?RT2 ln (V1/V2),

при том что Т2 = 500 К, Т1 = 300 К. Третья строчка выглядит так:

Q1 = Cv (T2 − T1) + vRT2 ln (V2/V1)

и четвёртая:

Q2 = Cv (T2 − T1) + vRT1 ln (V2/V1),

ещё раз простите за ввод в заблуждение =) и да, аккуратность хромает.

И все же давайте эту задачу добьем до конца, или она добьет нас?! Так какой КПД цикла в итоге? И какая конечная формула после сокращения? Это важно всем, Вам в первую очередь, пользователям портала.
конечная формула:

η = (Cv (T2 − T1) + vRT2 ln (V2/V1)) − (Cv (T2 − T1) + vRT1 ln (V2/V1)) / (Cv (T2 − T1) + vRT2 ln (V2/V1)),

после сокращения (т.к. Cv = (i/2) vR):

(2(T2 − T1) ln (V2/V1)) / (i (T2 − T1) + 2T2 ln (V2/V1))

поправьте и объясните, пожалуйста, если ошибаюсь, я ведь только учусь =)

shafl, со скобками напутано. Поскольку их много, то можно для наглядности иногда ставить и [квадратные скобки].
Можно так:

η= (γ − 1) (T1 − T2) ln (V1/V2) / [(γ − 1) ln (V1/V2) + (T1 − T2)].

Надоело разбираться?